Diálogos sobre Ensino-
Aprendizagem da Matemática
PAULO SÉRGIO TEIXEIRA DO PRADO
JOÃO DOS SANTOS CARMO
(ORG.)
Diálogos sobre Ensino-Aprendizagem da Matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
Marília/Ocina Universitária
São Paulo/Cultura Acadêmica
2016
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE FILOSOFIA E CIÊNCIAS
Diretor:
Dr. José Carlos Miguel
Vice-Diretor:
Dr. Marcelo Tavella Navega
Conselho Editorial
Mariângela Spotti Lopes Fujita (Presidente)
Adrián Oscar Dongo Montoya
Ana Maria Portich
Célia Maria Giacheti
Cláudia Regina Mosca Giroto
Giovanni Antonio Pinto Alves
Marcelo Fernandes de Oliveira
Maria Rosangela de Oliveira
Neusa Maria Dal Ri
Rosane Michelli de Castro
Ficha catalográfi ca
Serviço de Biblioteca e Documentação – Unesp - campus de Marília
Editora afi liada:
Cultura Acadêmica é selo editorial da Editora Unesp
D536 Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática : abordagens
pedagógica e neuropsicológica / Paulo Sérgio Teixeira do
Universitária ; São Paulo : Cultura Acadêmica, 2016.
174 p. : il.
ISBN 978-85-7983-749-4 (impresso)
ISBN 978-85-7983-760-9 (digital)
Educação de adultos. 4. Discalculia. 5. Neuropsicologia. I. Prado,
Paulo Sérgio Teixeira do. II. Carmo, João dos Santos.
CDD 372.7
DOI: https://doi.org/10.36311/2016.978-85-7983-760-9
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Ensino fundamental. 3.
A
Não poderíamos deixar de registrar nossos sinceros e efusivos agradecimentos a todos os
integrantes do grupo Análise do Comportamento e Ensino-Aprendizagem da Matemática
(ACEAM), cujo empenho integral e incondicional tem tornado possível a realização e o sucesso
de todas as edições do Colóquio sobre Ensino e Aprendizagem da Matemática.
Ao Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia sobre Comportamento, Cognição e Ensino
(INCT-ECCE).
Ao Programa de Pós-Graduação em Psicologia da Universidade Federal de São Carlos
(PPGPsi/UFSCar).
A todos os participantes e colaboradores do Colóquio sobre Ensino e Aprendizagem da
Matemática.
SUMÁRIO
Prefácio
Verônica Bender Haydu ...................................................................... 9
Apresentação
Paulo Sérgio Teixeira do Prado; João dos Santos Carmo ......................... 11
Capítulo 1
Repensando o Ensino de Matemática na Educação Básica
Maria do Carmo de Sousa ................................................................... 15
Capítulo 2
Educação Matemática em Processos de EJA: Elementos para sua
Fundamentação
José Carlos Miguel............................................................................... 43
Capítulo 3
Cognição Numérica: Contribuições da Pesquisa à Clínica
Flávia Heloísa dos Santos; Fabiana Silva Ribeiro;
Paulo Adilson da Silva; Rosana Satiko Kikuchi; Juliana Molina;
Marina Cury Tonoli ........................................................................... 63
Capítulo 4
Visões Conitantes sobre a Matemática: Possível Conciliação à
Luz da Pesquisa Empírica
Paulo Estevão Andrade; Paulo Sérgio Teixeira do Prado ......................... 99
Sobre os Autores ................................................................................ 171
9
PREFÁCIO
Fiquei muito feliz com o convite para faz
er o prefácio do livro
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática: abordagens pedagógica
e neuropsicológica,
organizado por Paulo Sérgio Teixeira do Prado e João
dos Santos Carmo. Esta obra revela o empenho de seus organizadores em
divulgar trabalhos cientícos desenvolvidos por eles e por outros pesqui-
sadores brasileiros sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática. A di-
vulgação feita por eles não se restringe à organização de livros como este,
mas também na promoção de eventos, como os Colóquios sobre Ensino
e Aprendizagem Matemática, na realização de palestras e comunicações
orais, e na publicação de artigos cientícos e capítulos de livros.
Os Colóquios, organizados pelo grupo Análise do Comportamento
e Ensino-Aprendizagem da Matemática (ACEAM), congregam educado-
res, sejam eles do Ensino Fundamental, Médio e Superior, e estudantes
que pretendem um dia atuar na área da Educação. Esse grupo se interessa
por compreender melhor o processo de aprendizagem da Matemática, os
procedimentos que viabilizam um ensino ecaz e eciente desse compor-
tamento, bem como a análise e a proposição de programas de intervenção
psicológicos. A contribuição que eles vêm fazendo ao longo de vários anos
é muito importante, principalmente diante do que se vê no cenário da
Educação brasileira.
No que se refere ao ensino e à aprendizagem da Matemática,
de forma especíca, tem sido observados resultados preocupantes no
Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), no qual a nota média em
“Matemática e suas tecnologias” foi a mais baixa dentre todas as áreas de
conhecimentos avaliadas pela prova realizada em 2014, conforme destaca-
https://doi.org/10.36311/2016.978-85-7983-760-9.p9-10
10
ram Juliana Espanhol e Ana Paula Lisboa (2015), ao resumirem os resulta-
dos do exame. Além disso, o desempenho dos estudantes foi pior em 2014
do que em 2013, tendo sido observada uma redução de 7,3% no índice
de avaliação.
Os resultados de provas e exames, apesar de serem passíveis de
críticas e terem que ser considerados de forma cuidadosa, revelam que o
ensino de Matemática precisa ser revisto e aprimorado, o que não poderá
ser feito sem uma revisão das políticas públicas, da participação da co-
munidade no controle das atividades das escolas e da interlocução com a
produção de conhecimentos gerados nas universidades. Essa interlocução
diz respeito, não apenas, ao tipo de conhecimento divulgado nessa coletâ-
nea de “Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática: abordagens
pedagógica e neuropsicológica”, mas também na capacitação e formação
de educadores. Os cursos de Licenciatura devem renovar seus programas
de formação de educadores com base na produção de conhecimento do
intercâmbio ensino, pesquisa e extensão, tal como vem sendo proposto e
discutido nos Colóquios sobre Ensino e Aprendizagem Matemática.
O desenvolvimento sustentável ou “sustentabilidade”, como tem
sido denominado na mídia, é um desao que prevê o bem-estar das futuras
gerações. Um bem-estar em condições de igualdade e, ao se pensar na re-
dução das desigualdades sociais, certamente a Educação é lembrada como
fundamental. Assim, o desao está nas ações que nós educadores podemos
e devemos realizar, uma vez que, “a formação do capital humano é o cami-
nho lógico a seguir”, conforme destacou Rodrigo Squizato (2006).
Verônica Bender Haydu
1
1
Universidade Estadual de Londrina (UEL), Centro de Ciências Biológicas, Departamento de Psicologia Geral
e Análise do Comportamento, Rod. Celso Garcia Cid, Km 380, Campus Universitário, CEP 86057-971,
Londrina, PR. E-mail: veronicahaydu@gmail.com.
11
APRESENTA
ÇÃO
A presente obra traz ao público os temas e diálogos promovidos
por pesquisadores convidados nas diferentes edições do Colóquio sobre
Ensino e Aprendizagem da Matemática. Os textos aqui reunidos são frutos
de trabalhos apresentados numa das edições do evento, o qual é organi-
zado pelo grupo Análise do Comportamento e Ensino-Aprendizagem da
Matemática (ACEAM)
1
e faz parte da programação cientíca do Instituto
Nacional de Ciência e Tecnologia sobre Comportamento, Cognição e
Ensino (INCT-ECCE)
2
e do Programa de Pós-Graduação em Psicologia
(PPGPsi) da UFSCar. A primeira edição do colóquio ocorreu em 2008 e,
tendo já ultrapassado a marca de 10 edições, o evento tem se consolidado
como um espaço de diálogo entre educadores em geral, educadores mate-
máticos, estudantes de pós-graduação e de graduação, em torno de temá-
ticas relacionadas ao ensino e aprendizagem da matemática. O objetivo
principal é que esse espaço possibilite a divulgação e o debate de pesquisas
conduzidas por pesquisadores de diversas áreas do conhecimento e de dife-
rentes vertentes teórico-metodológicas, de todas as partes do país, gerando
aproximação entre a academia e prossionais da educação. O público-alvo
são professores do ensino fundamental e do médio, graduandos e pós-gra-
duandos de Psicologia, Educação, Educação Especial e áreas ans, além de
todos os interessados. Como estímulo à participação e forma de alcançar
o maior número possível de pessoas, a inscrição tem sido gratuita e com
direito a certicação.
Pretende-se, assim, oferecer uma contribuição, ainda que reco-
nhecidamente modesta, porém, absolutamente imprescindível, para a re-
1
http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/8327539370184640 (ver também: http://migre.me/l8lr3).
2
http://inct.cnpq.br/web/inct-ecce (ver também: http://migre.me/l8lwc).
https://doi.org/10.36311/2016.978-85-7983-760-9.p11-14
12
dução da persistente distância entre a pesquisa cientíca feita na academia
e a prática pedagógica em sala de aula. O Colóquio possibilita a exposição
de pressupostos, procedimentos, dados, conclusões sem restrições quanto a
liação teórica ou de qualquer outra natureza. Os pesquisadores não preci-
sam abandonar seus princípios e convicções nem assumir postura eclética.
Mas, de alguma forma, as contribuições geradas por eles devem chegar ao
conhecimento do prossional do ensino. Um dos méritos do Colóquio,
portanto, é o de romper o isolamento por áreas de conhecimento e/ou ver-
tentes teóricas, assim como por níveis de atuação. Esse espírito de exposição
de contrastes se expressa no livro, que traz ao conhecimento do leitor pelo
menos duas formas de se fazer pesquisa e pensar o ensino da matemática,
razão pela qual ele foi organizado em duas seções, com dois capítulos cada.
Em seu capítulo intitulado: “Repensando o ensino de Matemática
na Educação Básica”, e tal como a própria autora arma na introdução,
Maria do Carmo de Sousa apresenta uma breve retrospectiva das ideias
subjacentes ao ensino de Matemática no Brasil nas últimas cinco décadas.
Pressupostos teóricos e metodológicos da perspectiva lógico-histórica são
expostos, bem como suas relações com os nexos conceituais da aritmética,
da geometria e da álgebra, os quais fundamentam atividades de ensino que
têm sido objetos de estudo de pesquisas sob sua orientação. Por m, é feita
uma descrição de uma atividade de ensino sobre o conceito de Função,
na perspectiva lógico-histórica, a qual tem sido vivenciada por alunos de
licenciatura em Matemática nas aulas de Metodologia de Ensino e fre-
quentado algumas salas de aula do Ensino Médio das escolas em que esses
licenciandos fazem estágio sob supervisão da autora.
Também integrando a primeira seção, o segundo capítulo é de
autoria de José Carlos Miguel, que tem larga experiência como coorde-
nador e docente em projeto de Educação de Jovens e Adultos (EJA). Sua
exposição tem por base o mesmo arcabouço teórico do capítulo anterior.
Sob o título: “Educação matemática em processos de EJA: elementos para sua
fundamentação”, e tal como resumido pelo próprio autor, o estudo resulta
de ações de articulação entre o ensino, a pesquisa e a extensão, que tem
como tema central a formação de educadores e suas implicações para a
renovação dos programas de ensino de Matemática. Tem por objetivo a
análise das heurísticas postas em prática por alunos da EJA (educação de
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
13
jovens e adultos) para a apropriação do conhecimento matemático bem
como sobre a importância do papel exercido pelos professores no processo
de mediação da ação pedagógica. Vale-se da análise documental e de depoi-
mentos de professores e alunos da EJA para fundamentação da discussão
e das conclusões. Situa-se no contexto teórico-metodológico da pesquisa
colaborativa e da teoria histórico-cultural. Os resultados da pesquisa per-
mitem considerar que a atividade matemática constitui a centralidade da
discussão sobre a aprendizagem matemática, o que traz consequências para
a organização dos programas de ensino. Trata-se de pensar numa gênese
escolar que motive os educandos à reconstrução de ideias e de pensar um
processo de produção na sala de aula que considere as condições da escola
distintas das condições que regem a produção de saberes da ciência mate-
mática. O que impõe pensar a formação de um professor epistemologica-
mente curioso.
A segunda seção reúne dois outros capítulos, os quais comparti-
lham fundamentos teórico-metodológicos e epistemológicos distintos dos
anteriores. As implicações pedagógicas do conteúdo neles expresso aguarda
por uma exploração mais extensa e profunda. O primeiro tem por título:
“Cognição Numérica: Contribuições da pesquisa à clínica” e foielaborado
porFlávia Heloísa Santos e colaboradores. Ele organiza informações ex-
traídas da literatura cientíca, sobre aspectos inatos e aprendidos do pro-
cessamento numérico e cálculo, culminando na denição e caracterização
da Discalculia do Desenvolvimento. Apresenta, ainda, estudos realizados
em amostras brasileiras,os quais permitem identicar diversas variáveis
que inuenciam o desempenho em medidas da cognição numérica, como:
idade, origem (rural ou urbana), natureza da instituição escolar (privada e
pública), e intervenção por treino musical. Oferece, também, recomenda-
çõessobre processos de intervenção educacional e psicológica proativas no
ensino da matemática.
O quarto e último capítulo, de Paulo Estevão Andrade e Paulo
Sérgio Teixeira do Prado, tem por título: “Visões conitantes sobre a mate-
mática: possível conciliação à luz da pesquisa empírica”. Nele, o leitor notará
a presença de elementos de todos os outros capítulos, pois é apresentada
uma ampla revisão de literatura sob uma perspectiva crítica, percorren-
do diversas tendências teóricas na pesquisa psicológica. A revisão inclui
14
também parte importante da literatura neuropsicológica e neurocientíca.
Aspectos inatos e aprendidos são discutidos, incluindo considerações sobre
a relação entre pensamento e linguagem.
Paulo Sérgio Teixeira do Prado
João dos Santos Carmo
15
C
REPENSANDO O ENSINO DE
MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Maria do Carmo de Sousa
INTRODUÇÃO
Neste capítulo, apresentamos algumas contribuições e indi-
cativos de caminhos para repensar o ensino de Matemática na Educação
Básica, a partir da perspectiva lógico-histórica, advindos de nossa prática
enquanto docente e pesquisadora da área Educação Matemática.
Inicialmente fazemos uma breve retrospectiva das ideias que têm
norteado o ensino de Matemática no Brasil, nos últimos 50 anos. Expomos,
ainda, alguns pressupostos teóricos e metodológicos da perspectiva lógico-
-histórica e suas relações com os nexos conceituais
1
da aritmética, da ge-
ometria e da álgebra que fundamentam as atividades de ensino que têm
sido objetos de estudo de pesquisas que estão sob nossa orientação. Tais
atividades são estudadas com futuros professores e professores que ensinam
Matemática em escolas da Educação Básica. Finalmente, descrevemos uma
atividade de ensino sobre o conceito de Função, na perspectiva lógico-
-histórica, que elaboramos, a qual tem sido vivenciada por licenciandos do
curso de Matemática, nas aulas de Metodologia de Ensino e frequentado
algumas salas de aula do Ensino Médio, das escolas em que estes licencian-
dos fazem estágio sob a nossa supervisão.
1
Denimos nexo conceitual como o “elo” existente entre as formas de pensar o conceito, as quais não coinci-
dem, necessariamente, com as diferentes linguagens do conceito.
https://doi.org/10.36311/2016.978-85-7983-760-9.p15-42
16
ALGUMAS IDEIAS QUE TÊM FUNDAMENTADO OS CURRÍCULOS ESCOLARES
BRASILEIROS NOS ÚLTIMOS 50 ANOS
Na década de 60, os currículos escolares brasileiros foram orien-
tados a partir das ideias fundamentais da Matemática Moderna que tem
sua origem no século XIX.
A Matemática Moderna sob o ponto de vista da História da
Matemática fundamentou-se na chamada Matemática Contemporânea
(ADLER, 1970) que tem as seguintes características: 1) É a Matemática
Clássica amadurecida; 2) É a Matemática Clássica tornada autoconscien-
te e autocrítica; 3) É também a Matemática Moderna, que se desenvol-
veu como um método mais eciente de tratar o conteúdo da Matemática
Clássica e, 4) É a Matemática cada vez mais intimamente relacionada com
as atividades humanas na indústria, na vida social, na ciência e na losoa.
Assim, os currículos de Matemática orientados pelo então deno-
minado Movimento da Matemática Moderna possuem em seu interior a
tentativa de garantir que os fundamentos acima descritos sejam ensinados
desde tenra idade.
Para que esse objetivo fosse alcançado e entrasse nas escolas da
Educação Básica, tal currículo foi elaborado por matemáticos e não por
professores de Matemática e, encontrou respaldo na Psicologia, através dos
resultados das pesquisas feitas em crianças de 7 e 8 anos por Piaget (1986),
uma vez que tais resultados assemelhavam-se às estruturas-mães: algébri-
cas, topológicas e de ordem propostas pelos bourbakistas
2
; davam impor-
tância ao papel dos conjuntos e referiam-se aos estudos da análise genética
das operações lógico-matemáticas e concretas.
Ressalta-se ainda que os estudos de Piaget enfatizavam que:
as estruturas da “Matemática Moderna” estavam muito mais próxima
das operações ou estruturas naturais da criança (ou sujeito) que as da
Matemática Tradicional; a Matemática, ao ir remontando em direção
às fontes, tinha chegado a certas “estruturas fundamentais da mente”;
a reforma do ensino podia fazer-se em todos os seus níveis, porém não
havia que se recorrer demasiado depressa às distintas etapas de desen-
2
Grupo Bourbaki: grupo de jovens matemáticos franceses que se autodenominaram de Nicolas Bourbaki. Esse
grupo tentou reescrever a Matemática do século XIX levando-se em conta três grandes estruturas: estrutura de
ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
17
volvimento e, somente se podia axiomatizar sob determinadas condi-
ções prévias (HERNÁNDEZ, 1986, p. 34).
A materialização dessas ideias dá origem a um currículo que enfa-
tiza os algoritmos. Prioriza-se o resultado do problema/exercício, conforme
mostra o Quadro 1 (SOUSA, 1999):
Sob o ponto de vista pedagógico, o currículo do Movimento
Matemática Moderna está fundamentado na “Pedagogia do Treinamento”
(LIMA, 1998), a qual possui quatro momentos distintos: 1) Mostrar o
conceito; 2) Demonstrar o funcionamento do conceito; 3) Treinar o con-
ceito e 4) Avaliar o conceito.
Quadro 1. Temas gerais dos conteúdos curriculares de Matemática nos três
níveis de ensino.
Ensino Fundamental Ensino Médio Universidade
Lógica e conjuntos; o
Conceito de número;
Medida; Espaço e formas
Estruturas Algébricas; Números;
Polinômios; Álgebra linear e
Geometria; Cálculo Diferencial e
Probabilidade
Estudo da Matemática
Moderna e Métodos
matemáticos na ciên-
cia e na tecnologia
Fonte: Sousa (1999)
Aqui, o professor é executor. É treinado para ministrar uma
Matemática Moderna que, muitas vezes, desconhece (SOUSA, 1999). O
ensino é memorístico, focado nos guias curriculares e nos livros didáticos.
Ao professor e aos estudantes coube apenas fazer operações com conjuntos
e decorar as fórmulas, uma vez que, embora o currículo tenha sido orienta-
do pela Teoria dos Conjuntos, a “vedete” do ensino dessa época é a álgebra.
Especicamente no Estado de São Paulo, o currículo da
Matemática Moderna vai ser revisto na década de 80, quando pela pri-
meira vez no Brasil, os professores são chamados a pensar o currículo que
tinha como eixo a Resolução de Problemas. A álgebra deixa de ser o foco e
transita nos três temas: Número, Medidas e Geometria, a partir do deno-
minado “cálculo literal”.
Há de se considerar, ainda, que, nesta abordagem, a História da
Matemática aparece timidamente.
18
Percebe-se uma mudança muito drástica entre o currículo origi-
nado durante o Movimento Matemática Moderna e o currículo proposto
pelo estado de São Paulo. Faz-se necessário formar o professor para dar
conta de ensinar as ideias que norteiam o novo currículo. É então que, ao
invés de guias curriculares, os professores são convidados a conhecer os ca-
dernos denominados “Atividades Matemáticas”, destinados aos professores
que lecionavam Matemática nas séries iniciais e os cadernos denominados
“Experiências Matemáticas”, destinados àqueles que lecionavam de quinta
a oitava séries.
Nesse contexto, há preocupações da Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas (CENP) em avaliar as atividades antes de serem pu-
blicadas ocialmente. As atividades são pensadas por especialistas e desen-
volvidas em salas de aulas, selecionadas pelas antigas Diretorias Regionais
de Ensino (SOUSA, 1999).
Há de se destacar que, apesar de o currículo do Estado de São
Paulo nos anos 1980, ser planejado pelos especialistas e contar com as
reexões da comunidade de professores das escolas da Educação Básica
que ensinam Matemática, no que diz respeito à elaboração de atividades
de ensino, os saberes dos professores são ignorados, uma vez que coube a
estes prossionais apenas a aplicação de tais atividades. O especialista tem
controle de todo o processo de elaboração e implementação do currículo.
Coube a ele determinar quais atividades deveriam ser publicadas e que
frequentariam as salas de aulas de todo o estado de São Paulo.
É nos anos 90 que percebemos preocupações, em âmbito nacio-
nal, em rever os currículos brasileiros. Lorenzato e Vila (1993) armam
que a Matemática recomendável para o Século XXI deverá propiciar um
ensino em que os estudantes possam:
revelar uma perfeita compreensão dos conceitos e princípios mate-
máticos; raciocinar claramente e comunicar efetivamente ideias ma-
temáticas; reconhecer aplicações matemáticas no mundo ao seu redor
e abordar problemas matemáticos com segurança (LORENZATO;
VILA, 1993, p. 41-42).
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
19
Destacam ainda que há doze “Áreas de Habilidades Básicas”
(LORENZATO; VILA, 1993) que deverão ser dominadas pelos estudan-
tes da Educação Básica, conforme mostra o Quadro 2:
Quadro 2. As 12 “áreas de habilidades básicas” propostas por Lorenzato e
Vila (1993).
Resolução de Problemas Habilidades apropriadas de cálculo
Raciocínio matemático Raciocínio algébrico
Comunicação de ideias matemáticas Medidas
Aplicação da Matemática a situações da vida cotidiana Geometria
Atenção para com a “razoabilidade” dos resultados Estatística
Estimação Probabilidade
Fonte: elaboração própria.
Nesta nova proposta o professor é convidado a pesquisar o ensino
que teoriza e o ensino de matemática parece que ca mais próximo das ques-
tões sociais. Podemos constatar que essas ideias vão nortear os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCNs), publicados no nal dos anos 1990.
O eixo organizador do processo ensino e aprendizagem, explici-
tado no currículo dos anos 1990 é a Resolução de Problemas. Os elabora-
dores dos PCNs se preocupam em denir no documento os seguintes con-
ceitos: situação problema; problema; resolução de problemas e conceito
matemático, conforme mostra o Quadro 3:
Quadro 3. Conceitos e respectivas denições relacionados à proposta o-
cial para o ensino de Matemática no Brasil.
Situação problema É o ponto de partida da atividade matemática e não a denição.
Problema
Certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase
mecânica, uma fórmula ou um processo operatório.
Resolução de
Problemas
Se assemelha ao desenvolvimento da História da Matemática;
Não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação
da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem
Conceito
matemático
Se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de
reticações e generalizações
Fonte: Elaboração própria
20
Entendemos que estas ideias que norteiam os currículos esco-
lares brasileiros, desde o nal dos anos 1990, presentes nos Parâmetros
Curriculares Nacionais, ainda não consideram os nexos conceituais da arit-
mética, álgebra e geometria, ou ainda elos lógicos e históricos que ligam os
conceitos matemáticos, apesar da História da Matemática ser indicada no
documento ocial como Metodologia de Ensino.
O QUE VEM A SER O CONCEITO DE LÓGICO-HISTÓRICO?
O conceito de lógico-histórico foi denido por Kopnin (1978)
como forma de pensamento e, em nossos estudos a partir de 2004, temos
defendido que o lógico-histórico pode se congurar como perspectiva di-
dática a partir da elaboração de atividades de ensino de Matemática que
considerem os nexos conceituais da Aritmética, Álgebra e Geometria.
Neste item, temos como intenção apresentar a denição mais ge-
ral do que vem a ser o lógico-histórico, fundamentação teórica tanto de
algumas pesquisas que estão sob a nossa orientação, quanto das atividades
de ensino propostas por Lima e Moisés (1998) e elaboradas por nós. As
atividades de ensino a que estamos nos referindo são analisadas com os
licenciandos e professores que ensinam Matemática, nas disciplinas que
ministramos na graduação e em projetos de extensão.
Os elementos constitutivos do lógico-histórico estão diretamente
relacionados aos conceitos de: totalidade, realidade, práxis, movimento,
uência, interdependência, mutabilidade, imutabilidade, momentos de
permanência, relatividade, lógica, história, processo, conhecimento e pen-
samento; e das categorias: concreto e abstrato, conceito, juízo e dedução
estudados por Kopnin (1978) e Kosik (2002) no que diz respeito à teoria
materialista do conhecimento.
Tendo como referência essa teoria, constatamos que Caraça
(1998) estuda o desenvolvimento dos conceitos matemáticos, ao passo que
Bohm (1980) estuda o desenvolvimento do conceito de matéria e Davydov
(1982) o desenvolvimento do pensamento teórico.
Assim, ao estudarmos esses elementos, percebemos que o lógico-
-histórico do pensamento humano é, há algum tempo, objeto de estudo
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
21
de lósofos, matemáticos, psicólogos e por que não dizer, de todos aqueles
que de alguma forma se preocupam com o conhecimento e com o “como”
o homem entende, em sua subjetividade, tudo aquilo que “apreende”
(KOPNIN, 1978; BOHM, 1980; KOSIK, 2002) da realidade que con-
tém leis objetivas, elaboradas no ato da atividade cognitiva de si próprio.
Segundo Kopnin (1978, p. 53), “uma vez apreendidas, as leis do
mundo objetivo se convertem em leis do pensamento, e todas as leis do
pensamento são leis representadas do mundo objetivo”.
Dessa forma, “o mundo objetivo e suas leis interessam ao ho-
mem, não por si mesmos, mas como meio de satisfação de determinadas
necessidades sociais” (KOPNIN, 1978, p. 61). Por isso mesmo, as leis são
mutáveis quanto às necessidades sociais. Não são leis como entende a me-
tafísica, algo determinista e imanente ao ser.
O pensamento humano busca formas que possibilitem a trans-
formação contínua da realidade através de seu trabalho físico e intelectual
durante a sua pequena trajetória ou viagem no universo, trajetória que
designamos pelo nome de vida.
Entender o lógico-histórico da vida signica entender a relação
existente entre a mutabilidade e a imutabilidade das coisas; a relatividade
existente entre o pensamento humano e a realidade da vida, bem como
compreender que tanto o lógico como o histórico da vida estão inseridos
na lei universal, que é o movimento.
Assim, compreender o lógico-histórico da vida é compreender
que todo conhecimento contém angústias, medos, aições, ousadias, ines-
perados, novas qualidades, conitos entre o velho e o novo, entre o passado
e o futuro. É compreender que a totalidade do conhecimento é o próprio
movimento da realidade objetiva que sempre estará por vir a ser.
O LÓGICO-HISTÓRICO NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Os estudos de Renshaw (1999) sobre o currículo elementar de
matemática consideram os trabalhos de Vygotsky e Davydov. Mostram que
toda a atividade humana está contextualizada em “um particular contexto
histórico, cultural e institucional” e que ao implementarmos um currículo,
22
seria interessante considerar as análises: lógica, psicológica e didática, pro-
postas por Davydov (RENSHAW, 1999, p. 10).
Renshaw (1999) entende que do ponto de vista da lógica, Davydov
(1982) mostra que é possível estabelecer os conceitos fundamentais da ma-
temática, que podem ser usados como uma base para o desenvolvimento
conceitual subsequente. Quando trata da análise psicológica arma que esta
é necessária para que possamos estabelecer “as capacidades das crianças – o
seu desenvolvimento, tanto das funções mentais inferiores como das supe-
riores – que poderia ser aplicada para apreender os conceitos matemáticos
fundamentais” ao passo que “a análise didática é necessária para criar proce-
dimentos de ensino, poderosos o bastante para construir conexões entre os
conceitos cientícos (quer dizer, os conceitos matemáticos fundamentais) e
os conceitos cotidianos do estudante” (RENSHAW, 1999, p. 3).
A partir de relações entre quantidades, Renshaw (1999) apresenta
“experiências pedagógicas”, que se iniciam com as crianças elaborando “ju-
ízos quantitativos simples de objetos concretos” e terminam com as crian-
ças “usando notação algébrica para representar relações quantitativas de
uma maneira abstrata e generalizada” (RENSHAW, 1999, p. 4).
Para tanto, o pesquisador sugere os estudos de Davydov, pois tais
estudos consideram o processo que se dá entre os conceitos cotidianos e
os conceitos cientícos. Não se constrói processo pedagógico sem a cons-
trução dessas conexões. Não há como ocorrer apropriação de conceitos
cientícos de forma automática.
Assim como o estudo de Renshaw (1999), defendemos que os
conceitos matemáticos desenvolvidos no contexto da sala de aula podem
ser entendidos como uma experiência pedagógica em que é possível ana-
lisar o movimento do pensamento aritmético, geométrico e algébrico sob
dois pontos de vista da dialética lógico-histórica: forma de pensamento e
perspectiva didática.
O ponto de partida das atividades de ensino de Matemática de-
veria considerar os movimentos regulares e irregulares que se apresentam
no cotidiano dos professores-estudantes e o ponto de chegada considerar
os conceitos cientícos. Aqui, o conceito de movimento está atrelado à
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
23
uência (CARAÇA, 1998), uma vez que na vida não existe o estático, o
pronto e o acabado. Há sempre um devir, um vir a ser.
Entendemos que, a partir da análise dos movimentos que estão
em nosso cotidiano, é possível, juntamente com os professores que leciona-
rão Matemática na Educação Básica, construir linguagem e pensamentos
aritméticos-algébricos-geométricos.
Para que possamos atingir a nossa intencionalidade, a de cons-
truir pensamento e linguagem com os professores, a partir da perspectiva
lógico-histórica, desde 2004 estamos estudando e elaborando atividades de
ensino que se fundamentam no movimento lógico-histórico da aritmética,
álgebra e geometria, de forma que estas propiciem aos estudantes o estudo
de movimentos a partir da linguagem comum, do senso comum, para que,
através do pensamento exível, possamos elaborar linguagem e pensamen-
tos aritméticos, algébricos e geométricos.
Do ponto de vista do pensar aritmético, algébrico e geométrico en-
tendemos ser necessário estudar os nexos internos que zeram com que esses
conceitos, ensinados em nossas escolas, chegassem ao renamento atual.
Para isso, levamos em conta a Teoria de Conhecimento elaborada
por Kopnin (1978), os estudos de Davydov (1982) sobre a generalização
no ensino e dos teóricos que veem na história a possibilidade de entendi-
mento dos nexos conceituais que compõem o movimento do pensar hu-
mano, dentre eles, a Matemática simbólica.
Kopnin (1978) e Davydov (1982) convergem para o mesmo
sentido. Armam que a lógica de determinado conhecimento se constitui
histórica. Portanto, ca muito difícil se referir ao conhecimento humano,
sem considerar o desenvolvimento lógico-histórico que se apresenta nos
conceitos lógico-formais. De modo geral, o lógico-histórico no ensino di-
ário não é considerado.
Temos como intenção, quando tratamos da perspecti-
va lógico-histórica para o ensino de Matemática, relacionar Teoria de
Conhecimento, Psicologia e Didática, a partir da perspectiva histórico-
-cultural. Para tanto, buscamos os estudos de Davydov (1982), conforme
mostra o esquema na Figura 1.
24
Pensamento teóricoPensamento empírico
História do conceito
Lógico-histórico
enquanto forma de
pensamento
Revela:
• Transições
• Movimento
• Desenvolvimento
Pensar dialético
Figura 1: Representação esquemática dopensar dialético e seus desdobra-
mentos nos campos empírico e teórico.
Fonte: elaboração própria.
Renshaw (1999, p. 3) arma que assim como Vygotsky, Davydov
se preocupou “com as mudanças subjetivas no indivíduo, produzidas pela
apropriação” de ferramentas culturais consideradas como “meios de media-
ção” e que têm o poder de transformar “a relação do sujeito individual com
o mundo social e físico”. Davydov (1982) argumentava que “a atividade
educacional não é dirigida principalmente à aquisição de conhecimento,
mas à mudança e ao enriquecimento do indivíduo”. Aqui, o autor nos
aponta que, a aquisição do conhecimento pelo conhecimento não pode
ser considerada uma atividade que promova a transformação e a aquisição
do conhecimento pelo sujeito. Faz-se necessário criar práticas pedagógicas
particulares onde os indivíduos possam conectar os conceitos cotidianos e
os conceitos matemáticos ou cientícos.
Ao tratar dos diversos tipos de generalização no ensino, Davydov
(1982) aponta algumas rupturas existentes entre o ensino escolar dos con-
ceitos e sua procedência. Há rupturas entre o pensamento teórico que se
quer ensinar e sua procedência, sua gênese, sua história constituída pela hu-
manidade, formalmente quando se ignora o lógico-histórico do conteúdo.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
25
O tipo de pensamento que se projeta no sistema de ensino base-
ado na psicologia pedagógica e na didática tradicionais se fundamenta tão
somente no pensamento empírico e no pensamento teórico. Nesse tipo de
ensino, sugere-se que, a partir das sensações, as crianças elaborem pensa-
mento teórico.
De modo geral, na maioria das salas de aula, o ponto de partida
do conhecimento é a manipulação e a experimentação dos objetos e o pon-
to de chegada do conhecimento é o lógico-formal dos conceitos estudados.
Nesse contexto de ensino ca muito difícil para professores e es-
tudantes se apropriarem do conhecimento cientíco ou matemático e fazer
conexões com os movimentos de suas vidas. O importante aqui não é o
processo, mas sim o resultado, uma vez que é no processo que há erros e
acertos. Falta aqui o pensamento exível. Há na sala de aula a predomi-
nância de um ensino que prima pelo treino das equações, inequações e
funções, por exemplo.
A principal característica do pensamento empírico, arma
Davydov (1982), fundamentado em Kopnin (1978), está no fato de que
este consiste no reexo dos objetos, desde a ótica de suas manifestações e
vínculos externos, exequíveis e acessíveis à percepção, contrapondo-se ao
pensamento teórico que reete os nexos internos
3
dos objetos e as leis de
seu movimento. Os nexos internos dos objetos só se realizam em movi-
mento. Os nexos internos dos objetos representam o processo.
Queremos aqui evocar o exemplo do estudo do conceito de ân-
gulo feito nas escolas.
O pensamento empírico de ângulo é o que relaciona suas carac-
terísticas perceptíveis como: a classicação dos ângulos relativa ao ângulo
reto; a classicação de ângulos de uma gura plana etc. Essa abordagem
não permite a generalização do conceito de ângulo.
Já o pensamento teórico de ângulo abrange estes aspectos per-
ceptíveis de representação de ângulos, mas também a ideia de movimento
relativo relacionado a ângulo, ângulo como posição, como medição de
distância, como equilíbrio, como projeção, etc. Percebemos que há certa
3
Nexos internos: são “elos” construídos historicamente que unem os conceitos. Na álgebra, por exemplo,
alguns nexos internos são: uência, interdependência, campo numérico e variável.
26
pobreza de raciocínio na abordagem empírica que a didática tradicional
desenvolve.
Há de se ressaltar que, ainda que os pensamentos empírico e teó-
rico advenham da atividade prática objetiva, produtiva, através do trabalho
humano, o qual deve ser entendido como base do pensamento humano.
Todas as formas do pensamento se constituem e funcionam “dentro dos
modos historicamente formados dessa atividade, transformadora da natu-
reza” (DAVYDOV, 1982, p. 280).
A leitura de Davydov (1982, p. 280) sobre os estudos de Engels
faz com que arme que “a base imediata e essencial do pensar humano é
precisamente a modicação da natureza pelo homem e não a natureza mes-
ma como tal. O homem desenvolve-se à medida que aprende a modicar
a natureza”.
No processo de trabalho faz-se necessário que o homem não leve
em conta apenas “as propriedades externas do objeto. Deve considerar,
também, a medida de seu ‘rompimento’: tais conexões internas, cuja con-
sideração permite modicar sua forma e atributos e fazê-los passar de um
estado a outro” (DAVYDOV, 1982, p. 280).
Davydov (1982) arma ainda que psicologia pedagógica tradicio-
nal não expressa a especicidade do pensar humano nem tampouco carac-
teriza o processo generalizador e formativo de conceitos, intrinsecamente
relacionado com a investigação da própria natureza deles mesmos e tem
como consequência disso, o fato de que o ensino dos conceitos na escola se
efetua desvinculado de sua procedência.
Dessa forma ignora-se na escola tudo o que permite conhecer a
gênese e a natureza dos conceitos por não estar em consonância com as
suas possibilidades. A escola se limita a descrever o pensamento empírico-
-discursivo, em que a racionalidade é o elemento inevitável presente nas
formas mais desenvolvidas do pensamento, dotando de consistência e cer-
teza os conceitos.
Essa tendência presente nas práticas escolares leva a várias conse-
quências negativas e a principal delas está no fato de que já na idade escolar
cristalizam-se nos estudantes os componentes “do pensamento racional”, a
partir do pensamento empírico.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
27
Entendemos que, geralmente, nas escolas o ponto de partida é o
pensamento empírico-discursivo e o de chegada é o pensamento teórico.
Muitas vezes, o estudante manipula um determinado material didático,
sob a orientação do professor com o intuito de, automaticamente, apren-
der uma fórmula, ou ainda obter certo pensamento teórico, sobretudo no
que diz respeito às aulas de matemática, física e biologia.
As práticas que temos no sistema escolar fazem com que os es-
tudos dos fundamentos da ciência e a presença de métodos de ensino dos
mesmos sejam vistos numa ótica de perfeição, criando por si só uma série
de condições objetivas para formar nos escolares o pensamento teórico.
Essa constatação faz com que as crianças não captem tanto a con-
traposição como a unidade, por exemplo, do fenômeno e da substância,
da causa e do efeito, de atributos isolados do objeto e da integridade dos
mesmos.
O professor, ao seguir tais normas, não pode, muitas vezes, des-
tacar e consolidar em tempo nas crianças, os singulares movimentos do
pensar, nas denições contrapostas.
Os métodos de ensino adotados não podem superar a esponta-
neidade na formação do pensar teórico das crianças, resultado inevitável
do qual é o muito diverso nível e qualidade de sua integração real em uns
ou outros estudantes.
As crianças saem da escola com a impressão de que os conceitos
cientícos que aparecem nos livros didáticos de forma linear, sem hesi-
tação, estão prontos e acabados, são imutáveis, bastando-se a si mesmos.
Aqui o conhecimento cientíco não tem história. É algo sem história, a-
-histórico, porque desaparece a atividade humana, desaparece a contribui-
ção cultural dos povos em sua elaboração (CARAÇA, 1998).
Poucas crianças, as mais aptas, segundo os estudos de Krutetsky
(1977), no que tange à matemática, conseguem fazer generalizações. Para a
maioria dessas crianças, a generalização está relacionada com um longo pro-
cesso comparativo de fatos similares e a associação gradual dos mesmos em
certa classe ou operações do tipo discursivo empírico (DAVYDOV, 1982).
28
Se a escola não orienta a formação do pensamento teórico, a
partir de considerações históricas, losócas que integram o pensamento
exível, ao insistir numa didática empírica de matemática que tem por ob-
jetivo a apreensão das teorias pelos estudantes, continuaremos a assistir ao
fenômeno de seletividade: uma minoria reduzida entendendo matemática.
Ou ainda, uma pequena minoria, por exemplo, ao manipular um deter-
minado material, automaticamente vai fazer relação com uma fórmula de
uma determinada equação.
Quando se exige que se mantenha o dito conteúdo somos con-
duzidos ao empirismo, que por sua vez exalta as percepções na forma de
representações e leis gerais sem poder atribuir-lhes nenhuma transcendên-
cia, salvo a de que se contém e justica na percepção.
Nos trabalhos de Davydov (1982) se considera o entendimento
de Hegel sobre o estudo inicial das ciências e para as atividades cotidianas.
Faz-se necessário ter como característica o “modo de pensar ingênuo”, que
reproduz o conteúdo das sensações e da contemplação, sem tomar ainda
consciência “da contraposição do pensamento dentro de si e a si mesmo”,
sem reexão interna.
A separação (análise) dos atributos “concrescentes” no mesmo
objeto perceptível induz o passar da percepção direta ao pensamento e dá
a esses atributos (denições) a forma de generalidade. O empirismo deixa
ao pensamento “só a abstração, a generalidade formal e a identidade”, mas
trata de reter nelas o mutável conteúdo concreto da contemplação, recor-
rendo às suas variadas “denições” diretas e baseando-se nas representações.
As características do raciocínio que descrevemos se apresentam
no pensamento empírico (discursivo-empírico), cuja função principal con-
siste em classicar os objetos e estruturar um esquema estável de “índices”.
Esse tipo de pensamento tem dois caminhos: um “de baixo pra
cima” e outro “de cima para baixo”.
O primeiro se baseia na abstração (conceito) do formalmente ge-
ral, em que sua substância não pode expressar em forma mental o conteú-
do especicamente concreto do objeto, ao passo que no segundo caminho,
o “de cima para baixo”, essa abstração vem saturada de imagens grácas do
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
29
objeto correspondente, não como estrutura mental e sim como combina-
ção de descrições ilustrativas e exemplos concretos da mesma.
Davydov (1982), fundamentado em Hegel, considera ainda que
o pensamento é antes de tudo, pensar discursivo, não se detendo, contudo,
nisso. Nem o conceito é tampouco mera denição de raciocínio.
Para ultrapassar os marcos do pensar discursivo faz-se necessário
considerar a obra do pensamento racional ou dialético, o qual descobre no
objeto sua autenticidade como ente concreto, como unidade das diferentes
denições, que o raciocínio tem por verdadeiras em sua individualização,
pois algo especulativo e abstrato é também, por sua vez, algo concreto, já
que não se trata de unidade simples e formal e sim de unidade de deni-
ções diferenciadas (princípio da dialética).
O pensar dialético revela transições, o movimento e o desenvol-
vimento. Ao considerá-la podemos estimar as coisas “em si e para si, ou
seja, de acordo com sua própria natureza”, onde radica o autêntico valor
do pensamento dialético para a ciência. A lógica formal tradicional (lógica
corrente) não reconhece os métodos do pensamento discursivo e sim o
pensamento racional.
Há de se ressaltar que o processo constitutivo das formas de pen-
samento contém:
1. O processo objetivo da atividade humana;
2. O movimento da civilização humana e da sociedade como autêntico
sujeito do pensamento.
Vale ressaltar que as debilidades fundamentais da psicologia in-
fantil e pedagógica tradicionais estão radicadas na não consideração do
pensamento do indivíduo como uma função historicamente desenvolvida
do “autêntico sujeito” da mesma, assimilada por aquele.
Ao analisarmos a psicologia tradicional, percebemos a impotên-
cia do psicólogo “para compreender a ontogênese do pensamento cientí-
co, sem saber os valores essenciais de sua logênese. O conhecimento de
cujas regularidades requer sair do domínio da lógica histórica-objetiva”.
30
Essa lógica orienta corretamente as investigações psicológicas do processo
formativo do pensamento nas crianças (DAVYDOV, 1982, p. 279).
Para se aperfeiçoar a instrução e entrar em consonância com os
conhecimentos cientíco-técnicos deste século, supõe-se mudar o tipo de
pensar projetado no sistema docente, aconselha Davydov (1982). Segundo
o autor, o pensamento teórico, dialético, há de ser o novo “modelo”.
Ao se criar esse novo modelo faz-se necessário estudar, no míni-
mo, tarefas cientícas de três níveis:
1. Uma minuciosa descrição lógico-gnosiológica do conteúdo, das for-
mas e regularidades do pensamento dialético e de seu alcance atual;
2. A análise dos mecanismos psicológicos formativos desse tipo de pensar
nos escolares e a descrição da atividade das crianças que lhes permitam
aplicar-se aos meios fundamentais do pensamento teórico;
3. Criar manuais didático-metodológicos mediante os quais os alunos
possam – ao estudar determinado sistema de conceitos – dominar as
bases do pensamento teórico e de seus componentes.
4. Cada um desses três níveis tem sua problemática especial, mas todos
estão inter-relacionados.
Estamos nos propondo em nossas pesquisas estudar aspectos dos
níveis 1 e 3, do que Davydov (1982) denomina de tarefa cientíca, a partir
de atividades de ensino de Matemática que articulem os nexos internos dos
pensamentos numéricos e geométricos, por exemplo, de forma que possamos
construir com os professores e estudantes pensamentos algébrico, geométrico e
aritmético, através de uma minuciosa descrição lógico-histórica do conteúdo,
das formas e regularidades do pensamento dialético e de seu alcance atual.
Dessa forma, estamos propondo que os professores, ao constru-
írem pensamento algébrico com estudantes do Ensino Fundamental, lan-
cem mão do lógico-histórico algébrico enquanto ações pedagógicas, que
envolve o desenvolvimento do conceito de variável, historicamente cons-
truído, conforme descrevem os esquemas na Figura 2 (a; b) e na Figura 3
4
.
4
No contexto lógico-histórico do pensamento algébrico há de se considerar a álgebra não simbólica e a álgebra
simbólica. A álgebra não simbólica envolve o lógico-histórico das variáveis: palavra, gura e uma certa mistura
entre palavra e gura, denominada de sincopação. A variável letra fundamenta a álgebra simbólica. O uso da
letra representou uma nova álgebra. No contexto da álgebra palavras como, “ahá”, “coisa” representavam valores
desconhecidos, porém, fazem parte da álgebra não simbólica.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
31
Figura 2.
A)
B)
Retórica
Sincopada
Geométrica
Simbólica
Estágios/classes de desenvolvimento
(da linguagem algébrica)
Conceito de variável historicamente
construído
(enquanto escrita de movimentos)
Criação da ideia de fluência
Palavra
Figura
Letra
Não
Simbólica
Não
Simbólica
LÓGICO-HISTÓRICO
ESTÁGIOS/CLASSES DE
DESENVOLVIMENTO DA
LINGUAGEM ALGÉBRICA
IDEIA DE FLUÊNCIA
CONCEITO DE VARIÁVEL
Figura 2 - Elementos que compõem a álgebra
Fonte: adaptada de Sousa (2004).
Consideramos que os nexos conceituais do pensamento algébrico
envolvem: os conceitos de movimento, materializados nas variações quan-
titativas, destacando-se a variável palavra, a variável gura e a variável letra.
A TOTALIDADE DA ÁLGEBRA É CONSTITUÍDA
PELOS CONCEITOS DE:
NÚMERO
PALAVRA VIR A SER FIGURA
LETRA
LÓGICO-HISTÓRICO
considera-se
LÓGICO-HISTÓRICO
Figura3: Conceitos que constituem a totalidade da álgebra
Fonte: adaptada de Sousa (2004).
32
Em relação aos nexos conceituais da Aritmética e da Geometria,
zemos uma síntese nos esquemas abaixo (Figura 4 e Figura 5), a partir dos
estudos de Lima (1998):
PRIMEIRO CONCEITO NUMÉRICO
NUMERAL OBJETO
OBJETOS DO AMBIENTE
CORRESPONDÊNCIA BIUNÍVOCA
INSTRUMENTAL
CONCRETO
ELEMENTO DE
RACIONALIDADE
CONTAGEM
Fonte: adaptada de Lima (1998).
Figura 4: Nexos conceituais da Aritmética
Fonte: adaptada de Lima (1998).
Ao defendermos um ensino que considere os nexos conceituais
da Matemática, estamos propondo um pensar dialético entre História da
Matemática-Resolução de Problemas.
Composição
Espaço
Três dimensões
Plano
Duas dimensões
Linha
Uma dimensão
Decomposição
Figura 5: Nexos conceituais da Geometria
Fonte: adaptada de Lima (1998).
Neste sentido, a História da Matemática assume o papel de elo
entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas deni-
bilidades do conceito que permitam compreender a realidade estudada.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
33
É nexo conceitual entre o pensamento empírico-discursivo e pensamento
teórico, estudados por Davydov (1982).
A Resolução de Problemas tem identidade entre o conceito mate-
mático e o movimento histórico de sua criação. É Metodologia de Ensino
que desencadeia a busca de entendimento do conceito. Tem intenciona-
lidade da ação pedagógica, uma vez que o problema está em movimento.
AS ATIVIDADES DE ENSINO NA PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA
As ideias que apresentamos até o momento, com enfoque na
perspectiva lógico-histórica, estão presentes na denominada “Pedagogia
Conceitual”, que se contrapõe à Pedagogia do Treinamento.
A Pedagogia Conceitual (LANNER DE MOURA et al., 2003)
tem como pressuposto que ensinar matemática é realizar um encontro pe-
dagógico com o conceito, de forma que professores e estudantes compo-
nham um movimento afetivo de entendimento de si mesmos, das coisas e
dos outros, ao (re)criarem os conceitos cientícos em suas subjetividades.
A partir desse pressuposto, entende-se que o movimento afetivo
se constitui na sala de aula quando educador-aluno-conceito mantém-se
sob a “tensão criativa” do desenvolvimento conceitual, ao problematizarem
os nexos conceituais dos conteúdos estudados, a partir da dinâmica rela-
cional indivíduo-grupo-classe.
Assim, enquanto a Pedagogia do Treinamento se preocupa com o
indivíduo produtivo necessário à mecanização das forças produtivas e incorpo-
ra os mecanismos da repetição das formas abstratas dos conceitos cientícos:
a) trabalho enxuto, b) ênfase no fazer e c) redução do humano à máquina, a
Pedagogia Conceitual se preocupa com o indivíduo produtivo e criativo, bem
como com o desenvolvimento da inteligência e o emocional e incorpora a di-
nâmica de criação e desenvolvimento do conceito (LIMA, 1998):
1. Trabalho construtivo e criativo;
2. Saber fazer e saber pensar e
3. Integração do intelecto e do emocional no ser humano.
34
Assim, na Pedagogia do Treinamento, o pensamento e o conhe-
cimento são fragmentados, ao passo que na Pedagogia Conceitual o pen-
samento dialoga com o conhecimento lógico, criativo, imaginativo, social,
cultural e afetivo.
A Pedagogia Conceitual considera cinco momentos (LIMA,
1998), a saber: 1) Desconhecimento; 2) Autolocalização; 3) Tensão criati-
va; 4) Reordenação lógica e 5) Construção do conceito.
Lanner de Moura et al. (2003) denem o conceito como forma
do movimento do pensamento, que objetiva, mediante a explicação pela
linguagem lógica, a atividade do ser humano sobre a realidade em que,
pelas condições do vir a ser, está inserido e se insere.
Ao mesmo tempo, a partir de Leontiev (1983), consideram a ati-
vidade como movimento de abstrair o resultado de ações antes mesmo
de realizá-las, ações essas provocadas por necessidades reais, advindas da
interação do homem com o meio, pela condição de nele viver. Os proces-
sos de formação da necessidade que se apresentam em nosso meio e que
constituem a atividade mostram que o homem aprendeu a pensar, criando,
historicamente, conceitos (KOPNIN, 1978). A necessidade é a mola pro-
pulsora que motiva a humanidade a elaborar atividades enquanto constrói
os diversos conceitos que se apresentam em nossas vidas (LANNER DE
MOURA et al., 2003).
Considerando que a denição mais geral da atividade tem por
princípio mover os sujeitos a se entenderem e a entenderem a realidade
mutante enquanto criam conceitos, no âmbito do ensino tal atividade deve
permitir aos professores e estudantes pensarem sobre os conceitos cientí-
cos ensinados e aprendidos, os quais foram e são historicamente construí-
dos pelos homens das mais diversas civilizações.
As atividades aí elaboradas na e para a sala de aula, denomi-
nadas atividades de ensino, devem, portanto, permitir aos envolvidos
no processo, aprender a pensar criando conceitos num movimento se-
melhante ao da dinâmica da criação conceitual na história do conceito
(LIMA; MOISÉS, 1997; 1998).
Isso não quer dizer que a Pedagogia Conceitual defende a ideia de
que o conceito cientíco deva ser novamente criado, seguindo uma certa
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
35
linearidade histórica de fatos, todos os dias, em nossas escolas. O conceito
que ensinamos é um construto social e já foi elaborado de forma lógica nos
diversos momentos da trajetória humana.
O pensamento teórico, então, é elaborado pela humanidade en-
quanto se permite conhecer, a partir do conhecimento cientíco. Nesse
sentido, a história deixa de ser factual e passa a ser compreendida como
“possibilidade” (FREIRE, 1997) de entendimento do nosso próprio mo-
vimento de vir a ser; a partir da criação de conceitos. A história passa a ser
o elo entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas
denibilidades que permitam compreender a realidade estudada.
O mesmo vai acontecer com os nexos conceituais que podem ser
denidos como elos que ligam os pensamentos lógico e histórico; os pen-
samentos empírico e teórico; os conceitos matemáticos e o cotidiano, uma
vez que são exíveis porque têm movimentos diversos da vida.
A partir de Davydov (1982); Kopnin (1978); Caraça (1998) e
Kosik (2002), armamos que os nexos conceituais elaborados historica-
mente, por meio de denibilidades próprias de cada indivíduo ou ainda
de cada uma das civilizações, nos auxiliam a compreender a natureza do
conhecimento cientíco, ao mesmo tempo em que nos permite conhecer
a nós mesmos.
Assim, quando se trata de elaborar atividades de ensino, surgem
questões diversas:
1. Como elaborar atividades de ensino que possam formar professores
e estudantes de forma que os envolvidos possam pensar sobre o
lógico-histórico do conhecimento cientíco?
2. Como elaborar atividades de ensino de matemática que proporcionem
o surgimento de inesperados, de forma que os envolvidos possam com-
preender a realidade uente da vida a partir da totalidade?
3. Como as atividades de ensino podem se tornar orientadoras, de forma
que os envolvidos possam entender a realidade mutável a partir do co-
nhecimento cientíco, dentre eles o conhecimento matemático?
4. Como ensinar os conteúdos matemáticos, de forma que estes não se-
jam tão fragmentados a ponto de os estudantes acharem que aritméti-
36
ca, álgebra e geometria são conceitos isolados que não têm nada a ver
com a totalidade da Matemática? Com a totalidade da vida?
Partimos do pressuposto de que para ser orientadora, a atividade
de ensino deve ser estruturada de forma que permita aos sujeitos interagi-
rem, mediados pelos conteúdos e enquanto negociam signicados, solu-
cionem situações-problemas coletivamente (MOURA, 1998; 2001).
Nas dinâmicas de interações e nas situações-problemas faz-se ne-
cessário o pensar sobre a totalidade do conhecimento cientíco e a relação
deste com os conteúdos especícos estudados. Nessa perspectiva, poderá
haver o surgimento de inesperados, pois estes surgem a partir de situações
conituosas.
As propostas curriculares, conforme já apontamos, enfatizam o
aspecto analítico e funcional dos conceitos matemáticos, pois priorizam
o aspecto simbólico da Matemática, o qual representa o último estágio de
rigor e de abstração do pensamento humano.
Pelo mesmo fato, as atividades de ensino são elaboradas priori-
zando-se o aspecto lógico-formal dos conceitos matemáticos. Aqui, a re-
lação lógico-formal se apresenta apenas na intencionalidade de se ensinar,
a partir de atividades, o rigor matemático como algo imutável, pronto e
acabado. Tanto estudantes quanto professores não o (re)constroem para si,
em sua subjetividade, na sala de aula.
A abordagem formalista presente no Movimento da Matemática
Moderna, mesmo depois de quase 50 anos, parece que se materializa
praticamente todos os dias em nossas escolas, no ensino dos conceitos
matemáticos.
Há nessa abordagem uma fragmentação. O conceito descola-se
de todo o movimento do pensamento que a compôs, dando a ideia a pro-
fessores e estudantes de que essa abordagem se sustenta por si mesma. É
como se os conceitos tivessem vida própria sem nenhuma relação com os
pensamentos aritmético, algébrico e geométrico. Há a descaracterização
do movimento do pensamento humano que a compôs. Perde-se a ideia de
uência presente nos conceitos que se quer ensinar.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
37
Na Figura 6, o esquema apresentado sintetiza o conceito de ativi-
dade de ensino que estamos defendendo:
ATIVIDADE DE
ENSINO
PROCESSOS DE PROBLEMATIZAÇÃO DA NECESSIDADE
NECESSIDADE OBJETIVADA
CONCEITO
DEDUÇÃO
PROBLEMA
PERCEPÇÃO
EMBLEMA
SENSAÇÃO
DILEMA
Figura 6: Representação esquemática de um conceito de atividade de ensino
Fonte: adaptada de Lima (1998).
UM EXEMPLO DE ATIVIDADE DE ENSINO: O QUE É UMA FUNÇÃO?
Para que licenciandos e professores que ensinam Matemática pos-
sam compreender melhor o que estamos denominando de atividade de
ensino, na perspectiva lógico-histórica, a partir da leitura do capítulo inti-
tulado “No reino das funções” de Karlson (1961), elaboramos a seguinte
atividade sobre o conceito de Função (SOUSA, 2009). Ressalta-se que esta
atividade tem frequentado as nossas aulas de Metodologia de Ensino, bem
como algumas salas de aula que contam com a participação dos estagiários
que estão sob nossa orientação (SOUSA, 2009):
I- Imagine a seguinte situação: O viajante na oresta põe um pé diante
do outro – e a cada passada o caminho por ele vencido se acresce de uma
nova porção. O trajeto guarda com o número de passos uma relação xa e
determinada.
• Responda:
- Quais são as grandezas que envolvem a interdependência desse movimento?
- Qual a lei obedecida por esta interdependência? Expresse-a:
38
• a partir de uma frase;
• a partir da matemática simbólica
- Localize a variável dependente e a variável independente desse movimento.
II- Suponhamos que o viajante distraído que caminha pela oresta seja um
soldado em férias, que tem no sangue a cadência constante das marchas.
• Se o comprimento do passo desse soldado vale 0,75m, como podería-
mos expressar a lei que rege o seu trajeto? Por quê?
• Nesta situação, qual será o campo de variação dessa lei? Por quê?
• Construa uma tabela com o trajeto possível do soldado.
• Se não quisermos medir o trajeto pelo número de passos e sim pela
relação tempo e caminho percorrido, haverá mudanças na lei que esta-
belecemos anteriormente? Por quê?
• E quanto ao campo de variação? Explique.
III- O caminhante prossegue em sua marcha com velocidade constante,
sem orientar o modo de andar pelo seu estado de ânimo. Suponhamos que
em um segundo o homem percorre 1x 1,5 metros; em dois, 2 x 1,5 metros;
em três, 3 x 1,5 metros e, assim por diante:
• Como expressar a lei desse movimento?
• Qual será o campo de variação?
• Como representar esse movimento a partir de uma tabela?
• Como dispor esses dados em um gráco?
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nos últimos 50 anos os currículos de Matemática brasileiros
sofreram algumas mudanças, porém, ao que parece, professores e estu-
dantes ainda sofrem as consequências das ideias que fundamentaram o
Movimento Matemática Moderna, em que o professor era mero executor
de propostas não pensadas por ele.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
39
Ao mesmo tempo, em termos metodológicos há ainda resquícios
da Pedagogia do Treinamento. A Pedagogia Conceitual ainda não frequen-
ta boa parte das escolas, considerando-se que os nexos conceituais da arit-
mética, álgebra e geometria não frequentam a sala de aula, logo, as ativi-
dades de ensino de Matemática são formais e desconectadas da realidade e
não consideram os aspectos lógico-históricos dos conceitos matemáticos.
O lógico-histórico na sala de aula e, consequentemente, no currí-
culo de Matemática da Educação Básica, tem como principal função auxi-
liar o pensamento a movimentar-se no sentido de encontrar as verdades, a
partir de denibilidades próprias do conceito.
Aqui a história assume o papel de elo que liga a causalidade dos
fatos e a possibilidade de criação de novas denibilidades do conceito,
que permitam compreender a realidade estudada. Há a necessidade de se
elaborar juízos sobre os conceitos. Não se apresentam, aos estudantes, os
conceitos prontos e acabados. Convida-se o estudante a pensar sobre tais
conceitos.
Entendemos que as aulas de matemática devem ter como objeti-
vo convidar o estudante a humanizar-se pelo conhecimento matemático.
Devem permitir que haja um encontro afetivo com o conceito; no nosso
caso, com o conceito algébrico.
Ao fazermos tal armação estamos de braços dados com todos os
teóricos e pesquisadores, que defendem a ideia de que o formar-se homem
acontece desde o momento em que o pensamento começa a movimentar-
-se para entender o mundo na lida do dia-a-dia.
O entendimento do mundo e de nós mesmos, pelos conceitos
matemáticos permite-nos entrar em contato com a concreticidade e a abs-
tratividade dos conceitos.
40
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42
43
C
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM PROCESSOS
DE EJA: ELEMENTOS PARA SUA FUNDAMENTAÇÃO
José Carlos Miguel
INTRODUÇÃO
Parecem consenso estabelecido as crescentes exigências educativas
da sociedade contemp
orânea, o que impõe às pessoas a imperiosidade do do-
mínio de instrumentos da cultura letrada, o acompanhamento adequado do
desenvolvimento tecnológico e a compreensão dos meios de comunicação de
modo a atualizar-se frente à complexidade do mundo do trabalho.
Também aceita é a ideia de que o pensamento matemático deve
contribuir para a consolidação do processo de letramento, isto é, o conhe-
cimento matemático deve ser reconhecido como componente de alfabeti-
zação, sem o que não há que se falar em inserção no mundo da leitura e
da escrita, dada a sua amplitude na atual realidade. Partindo desse modo
de pensar, o presente estudo tem por objetivo principal analisar algumas
heurísticas desenvolvidas por alunos da educação de jovens e adultos (EJA)
em processo de aprendizagem matemática, bem como analisar o papel
exercido pelo professor como mediador da ação pedagógica. Vale-se da
análise documental, de depoimentos de alunos e professores e da reexão
sobre situações de sala de aula para fundamentação das discussões e das
https://doi.org/10.36311/2016.978-85-7983-760-9.p43-62
44
conclusões. Situa-se, então, no contexto teórico-metodológico da pesquisa
colaborativa e da teoria histórico-cultural.
A efetividade de uma proposta de difusão do conhecimento se
consolida quando validada pelas práticas sociais em suas diversas instân-
cias. No caso da educação de jovens e adultos (EJA) impõe considerar que
vivemos um tempo no qual é imperativa a discussão sobre o lugar e o sig-
nicado das competências e habilidades exigidas das pessoas para atuar no
que se logrou denominar de sociedade do conhecimento.
Também parece consenso estabelecido que nessa sociedade não se
aprende apenas na escola. Os jovens e adultos chegam às salas de EJA reali-
zando estimativas e desenvolvendo formas interessantes de cálculo mental,
embora tenham muitas diculdades para formalização dos raciocínios. Por
isso, uma proposta de educação matemática de jovens e adultos deve ter
como ponto de partida a criação de um ambiente de aprendizagem no qual
a intersubjetividade e a dialogicidade sejam os seus principais caracteres. A
análise dessas heurísticas e das implicações para a criação desse ambiente é,
então, o principal objetivo desse estudo. Trata-se de pensar a Matemática
como uma linguagem, isto é, como componente de alfabetização. Mas é pre-
ciso pensar, também, nos aspectos relativos ao uso social amplo do conheci-
mento matemático, ou seja, numa perspectiva de letramento/numeramento.
É fato que a argumentação sobre o problema das competências
resulta de forte pressão social sobre a escola para que a formação de nossos
alunos contemple o desenvolvimento de outras formas de pensar, indo
muito além do caráter pragmático e utilitarista do qual a educação, por sua
própria natureza, se reveste. Sem dúvida, o contexto em que se dá a comu-
nicação inuencia a aprendizagem. Sob o nosso ponto de vista, comunica-
ção envolve linguagem (linguagem oral ou escrita, linguagem matemática
ou linguagem textual), interações e signicados de aprendizagem.
Charlot (2005) considera que ensinar não é apenas transmitir co-
nhecimentos; ensinar também signica humanizar, socializar e contribuir
para o desenvolvimento da potencialidade humana. O seu modo de pensar
sugere que a atividade do sujeito exige reciprocidade, isto é, educador e edu-
candos são sujeitos ativos e é necessário compreender que é “o aluno que
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
45
deve aprender e que não se pode aprender em seu lugar. Mas isso supõe que
o aluno entre em uma atividade intelectual” (CHARLOT, 2005, p. 84).
No caso da Matemática, alunos adultos conseguem, muitas vezes,
resolver problemas “de cabeça”, ou seja, não usam algoritmos convencio-
nais para chegar ao resultado esperado, mas mostram-se inteligentes e ca-
pazes de interagir em situações de uso social do conhecimento matemático.
No entanto, a sociedade do pensamento cartesiano valoriza mais o escrito e
encontra nas práticas matemáticas o seu padrão. Parece que nessa concep-
ção de sociedade é consensual que a utilização de habilidades matemáticas,
ainda que informais, é uma indicação de racionalidade. Se o uso social dos
modelos matemáticos é fundamental nas práticas humanas, a ideologia
da certeza absoluta deve ser desaada no sentido de maior valorização dos
processos de pensamento e das estratégias dos alunos para a apropriação do
conhecimento matemático.
No caso de jovens e adultos pouco ou não escolarizados, toma-
da a decisão pelo ato de estudar, sabemos que trazem para a escola várias
experiências vivenciadas no seu cotidiano que exigem reconhecimento de
números, contagem e cálculo. Por vezes, o educador de jovens e adultos se
surpreende com o desenvolvimento por seus alunos de estratégias próprias
muito ecazes para a resolução de problemas com os quais se deparam na
prática social e percebe o distanciamento entre a Matemática escolarizada
e as heurísticas desenvolvidas pelos mesmos para dar conta das questões a
eles colocadas.
Por outro lado, isso também está posto, o aluno da Educação de
Jovens e Adultos (EJA) vive uma trajetória de exclusão que limita o seu
acesso ao acervo cultural produzido pela humanidade. Os que abandonam
a escola o fazem por fatores de ordem social e econômica, mas também
por se sentirem excluídos da dinâmica de ensino. Nesse processo de exclu-
são, o insucesso na aprendizagem da Matemática tem exercido um papel
e determina a frequente atitude de distanciamento, temor e rejeição a essa
disciplina que se mostra aos alunos como inacessível e sem sentido. São ro-
tineiras e absurdamente repetitivas as queixas dos próprios alunos quanto à
incapacidade para aprendizagem da Matemática, ao menos da Matemática
escolarizada, fato, aliás, para o qual nem todos os estudantes atentam.
46
Ao assumirem a condição de estudantes, jovens e adultos trazem
para a escola, como apontamos acima, noções matemáticas desenvolvidas
de modo informal ou intuitivo. Embora isso seja importante para a sua
prática social, não constitui condição suciente para uma inserção harmô-
nica na sociedade contemporânea face às competências exigidas no mundo
do trabalho. Sabem das necessidades sempre presentes de preencher uma
cha, interpretar informações de um manual ou paneto publicitário, li-
dar com dados matemáticos de uma receita, dosagem de remédios, com-
prar, pagar e conferir troco, etc.
No entanto, constata-se que as teorias da aprendizagem e do de-
senvolvimento consideram historicamente a criança e o adolescente. “Os
processos de construção do conhecimento e de aprendizagem dos adultos
são, assim, muito menos explorados na literatura psicológica do que aque-
les referentes às crianças e aos adolescentes.” (OLIVEIRA, 1999, p. 60).
Os educandos jovens e adultos desenvolvem suas ações, no con-
texto matemático, de forma empírica, pouco elaborada do ponto de vista
do conhecimento sistematizado. Mas sabem da sua importância e buscam
na escola a compreensão do trajeto que vai do concreto para o abstrato, do
histórico para o lógico, do oral para o escrito, do mental para o formal, isto
é, a organização sistemática do conhecimento matemático visto que isso
tem uso social inerente.
Quando os jovens e adultos iniciam ou retomam seus estudos,
vêm com grandes expectativas de aprender as técnicas operatórias (“fazer as
contas no papel”, no seu modo de dizer). Na sala de aula, o educador deve
responder a essas demandas, mas deve ter a consciência de que os desaos
que se colocam são muito maiores.
Para muito além do conhecimento empírico, eles precisam avan-
çar no sentido de saber fazer questionamentos, desenvolver raciocínio
argumentativo, resolver situações-problema, assimilar rapidamente infor-
mações, ampliar a capacidade de estabelecer relações, reconhecer regulari-
dades e coerências, prever, generalizar, projetar e abstrair, fundamentos e
objetivos intrinsecamente relacionados ao fazer matemático.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
47
Desse modo, essa é uma reexão que busca analisar os dramas e
as tramas da prática pedagógica em Matemática e as implicações teórico-
-metodológicas da inserção dessa disciplina nos processos de EJA.
A MEDIAÇÃO DIALÉTICA ENTRE O CONCRETO E O ABSTRATO: PERSPECTIVAS
TEÓRICAS E PRÁTICAS
Eli (nome ctício) é aluna de um programa de educação de jovens
e adultos sob minha coordenação que nos instiga a reetir muito sobre o
papel da escolarização. Numa avaliação diagnóstica realizada verbalmente
na efetivação da matrícula, propus a ela resolver o seguinte problema: “Um
garoto vende gomas num ponto de parada de ônibus. Ganha R$ 0,15 por
goma que vende. Ontem ele ganhou exatamente R$ 10,80. Você sabe me
dizer, aproximadamente, quantas gomas ele vendeu?”.
Eli, 48 anos, pensou por um instante e não hesitou:
Dez dá R$ 1,50. Vinte são R$ 3,00. Sessenta são R$ 9,00. Com mais R$
1,50 é mais 10 gomas. Já são 70 gomas. E R$ 10,50 em dinheiro. Mas têm
mais 2 gomas dos trinta centavos. É 72 gomas?.. (sic).
Sinalizei que estava exata a resposta e solicitei que tentasse resol-
ver com lápis e papel. Com certa apreensão no olhar, exclamou:
Não entendo Matemática... Tenho muita diculdade para escrever.
Acho que são as minhas mãos... Isso não é para mim. Não entendo essa
Matemática da escola. Sabe, professor, estudei alguns dias só... Mal apren-
di a escrever o meu nome. Mas eles não me enganam. Aprendi com a vida.
Faço tudo de cabeça [...].
Seguramente, o problema não é com as mãos. E nem com a cabe-
ça, dada a lucidez e vivacidade de raciocínio. Insisti, perguntando se sabia
a conta (operação) que solucionava o problema. Disse que não, mas que
tinha que “ver quantas vezes os 15 centavos cabia no total”. Com incrível
agilidade mental respondera que foram vendidas 72 gomas. Insisti que ten-
tasse fazer o cálculo, buscando reproduzir a ação mental que desenvolvera.
Com muita diculdade para escrever, ela procedeu assim:
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 2 veis 3 veis 1,50 30
10 g 20 g 60 g 10 g 2 g
72 goma
48
Tendo iniciado a entrevista pensando que Eli não conseguiria
resolver o problema, quei impressionado com a sua agilidade mental.
Restaram-me duas certezas: a primeira, de que ela nem imaginava o uso do
algoritmo da divisão para resolver o problema; a segunda, que posto num
processo signicativo de aprendizagem matemática, Eli avançaria até com
certa facilidade para os procedimentos algorítmicos. Na escola, o professor
impõe um modelo de pensamento matemático (a técnica operatória), cujo
desenvolvimento histórico percorreu uma trajetória de erros e acertos que
certamente passou por essa etapa, mas que é negligenciada na ação didática
cotidiana. Ao educador cabe fazer a aproximação entre o raciocínio elabo-
rado pelo aluno e o trajeto que ele deseja ver seu aluno fazendo para a aqui-
sição de uma aprendizagem calcada em bases cientícas. Na EJA isso pode
fazer a diferença, determinando a permanência do educando na escola.
Essa preocupação com o desenvolvimento do raciocínio mate-
mático não é recente. Poincaré (1927) defende a ideia de que o profes-
sor, para favorecer o desenvolvimento do raciocínio matemático do aluno,
deve considerar a intuição matemática no ensino. Esse caminho, segundo
ele, não é linear e a intuição deve ser o ponto de partida. A demonstração
matemática ou a formalização deve constituir o ponto de chegada.
O educando jovem ou adulto é um ser que pensa e, consequente-
mente, percebe coisas, cria imagens mentais, estabelece e analisa relações,
opera mentalmente e formula conceitos. Esse fazer/compreender do ho-
mem acompanha-o ao longo da vida, independentemente de sua inserção
na escola. Nas experiências escolares, os professores devem estar atentos a
essa construção para que a apreensão, a análise, a reexão e a operação so-
bre o real não sejam obstruídas por ações pedagógicas que ora infantilizam
o adulto, ora se constituem em fragmentos de raciocínio muito distantes
do modo de pensar do aluno.
O aprender, o conhecer, em Matemática, exige do sujeito o que-
rer e o interagir com os pares e com o objeto do conhecimento. Trata-se de
construção cognitiva que é, ao mesmo tempo, coletiva, ativa e individual.
Possui aspectos gurativos, operativos e conotativos.
Isso posto, considere-se ainda que:
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
49
a transmissão do saber pelas vias não letradas supõe o prévio conheci-
mento da linguagem falada. Para conhecê-lo basta ao indivíduo adulto
ser normal. A linguagem falada não é aprendida na escola e sim no de-
senvolvimento social do ser humano. Ela é sem dúvida o fundamento
de todo o conhecimento e por isso pode-se dizer que o analfabetismo a
rigor não existe, pois o homem normal é sempre capaz de expressar em
sons falados seu pensamento. O que necessita é apenas progredir até o
ponto em que se torna para ele uma necessidade também expressar por
meios grácos seu pensamento, mas esta necessidade deriva sempre da
primeira. (VIEIRA PINTO, 1985, p. 101-102, grifo do autor).
Daí que o conteúdo da educação, tal como a forma, tem cará-
ter eminentemente social e, portanto, histórico; as relações entre ensino e
aprendizagem da Matemática não podem se furtar a essas considerações.
Assim, para além da preocupação com a garantia do direito à educação, é
salutar a adequação do trabalho pedagógico às demandas, características,
expectativas e desejos dos educandos, o condutor de um processo de atri-
buição de sentidos e signicados de aprendizagem.
Impõe-se considerar que o conhecimento gurativo relaciona-se
ao real externo ao sujeito. É a apreensão de fatos ligados a objetos, pessoas
e coisas, sem estabelecimento de relações.
A interpretação, um tanto enviesada, da oposição entre transmis-
são e construção do conhecimento matemático coloca na escola, em geral,
e na educação de jovens e adultos, em particular, situações pedagógicas que
precisam ser desmisticadas. Em nossa compreensão, transmissão e cons-
trução de conhecimento são instâncias que sustentam a busca de elabora-
ção do pensamento teórico e se complementam dialeticamente; o que deve
ser questionado é a repetição mecânica, sem compreensão. Igualmente,
não se constrói conhecimento a partir do nada.
O que signica partir da realidade do educando adulto? O que é
o concreto na aprendizagem da Matemática? Como se consolida a transi-
ção do concreto para o abstrato?
Do nosso ponto de vista, concreto e abstrato não se constituem em
instâncias dissociadas; o concreto contribui para o desenvolvimento da abs-
tração e o abstrato melhora a compreensão que detemos do concreto, do real.
50
A escolarização formal tem se baseado na mera tentativa de trans-
missão, via ensino teórico e aulas expositivas, de explicações e de artefatos
teóricos distantes do modo de pensar dos jovens e dos adultos e no suposto
adestramento em técnicas e habilidades mediante ensino prático com exercí-
cios repetitivos. Nem é possível denominar essa postura de abordagem com-
portamental, como pretendem alguns críticos, posto que a meu ver a abor-
dagem comportamental se vale, em geral, de abordagem fundamentada em
aspectos quantitativos e tem uma metodologia especíca bem desenvolvida.
Não me ocorre que essa seja a perspectiva que contemple as ações didáticas
geralmente constatadas nas aulas de Matemática da escola tradicional.
A perspectiva metodológica que enfatiza o conhecimento gu-
rativo centra-se na memorização imitativo-repetitiva, nos procedimentos
algorítmicos enfadonhos, nos truques e macetes.
O educando adulto, nesse caso, não estabelece relações, não liga
o conhecimento anterior ao conhecimento novo. Observa o numeral 75,
mas não sabe bem o que ele tem a ver com o 74 e com o 76 em sua repre-
sentação formal. Por analogia com o uso do dinheiro, que é do seu cotidia-
no, pode escrever 70 5, com esse espaço entre o setenta e o cinco, já que se
refere, de forma clara para ele, à ideia de quantidade representada por uma
nota de cinquenta reais, duas notas de dez reais e mais uma nota de cinco
reais, além das diferentes formas de composição com notas.
Isso traz algumas implicações para o ato de ensinar. Primeiramente,
não se pode negligenciar o fato de que esse educando adulto busca na es-
cola a sistematização formal desse conhecimento que detém, tido como de
senso comum, e viabilizar para ele essa condição é papel da escola.
Nesse sentido, solidicou-se no ensino de Matemática a ideia de
que concreto e abstrato se caracterizam como instâncias dissociadas, com
o concreto se identicando com a manipulação de objetos e o abstrato
com as representações formais, com denições e sistematizações. Opõe-se
à ação física à ação intelectual, o que traz danos para a construção do fato
matemático, posto que toda ação física pressupõe uma ação intelectual.
Na verdade, aprender é construir signicados e atribuir sentidos; cumpre,
pois, compreender a aprendizagem como um processo no qual essas duas
dimensões intervêm associadamente, de forma relacionada.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
51
Os conhecimentos envolvem diferentes níveis de abstração, de
modo que as concretizações conguram os signicados que lhes vão sendo
atribuídos pelos sujeitos. Se considerarmos, então, que concreto e abstrato
são dimensões relacionadas da aprendizagem matemática, devemos conside-
rar também que o conhecimento matemático é, de fato, uma ação interiori-
zada em pensamento; é uma ação abstrata, simbólica, formal e lógica, o que
não deve justicar, em nome dessa assertiva, a apresentação dos fatos mate-
máticos de maneiras distantes dos modos de pensar do jovem e do adulto.
Por seu turno, o conhecimento conotativo refere-se à formação
de conceitos, de signicados. Vai além do gurativo, posto que o educando
apreende o real e passa a dar sentido a ele, utilizando-se dos conceitos ela-
borados, conforme os seus signicados, em ações mentais, embora ainda
não consiga, no caso do conceito matemático, a sua formalização adequa-
da. É um conhecimento que se concretiza, em dimensão signicativa, pelo
uso social de coisas, objetos e conceitos.
Paulatinamente, essas ações vão se estruturando e se modicando
ao longo do desenvolvimento cognitivo, avançando do conhecimento típi-
co de abstração empírica, sem estabelecimento de relação de transitividade
e de análise, e evoluindo para a tomada de consciência dessas relações.
O sujeito pensa, reete, reconstrói ou modica uma situação ma-
temática, relacionando a representação simbólica e o signicado. A ação do
sujeito assume a característica dialética de reversibilidade, marca da abstra-
ção reexiva que permeia o processo de conhecimento operativo. Trata-se,
então, de resgatar no ensino da Matemática a intencionalidade dos sujei-
tos que produzem, usam ou divulgam o conhecimento matemático, bem
como as inuências da cultura e das relações de poder que se manifestam
nesse processo de difusão do pensamento matemático. Impõe-se a apren-
dizagem não apenas do ponto de vista da compreensão individual, mas de
ação pedagógica delineada no processo de apropriação coletiva e histórico-
-cultural do conhecimento matemático, de seu uso social e das implicações
políticas que determinam a inserção dos educandos nesse processo.
A aprendizagem matemática não pode se resumir à tentativa de
compreensão da Matemática pronta, mas conduzir os educandos à possibi-
lidade de fazer investigação matemática adequada a cada nível de ensino. A
52
rigor, inserir os educandos num processo de redescoberta da Matemática,
sendo a investigação matemática uma das atividades que os alunos po-
dem desenvolver e que se relacionam, de certo modo, com a resolução de
problemas.
Isso posto, não se retira o fato matemático do material concreto,
nem do jogo ou da brincadeira. Ele sempre é uma abstração, uma ação in-
teriorizada em pensamento. São ações intrinsecamente relacionadas e que
constituem a mediação para a construção do pensamento matemático.
Assim é que Ale, educadora de jovens e adultos, propõe numa
aula que os alunos “determinassem de quantas maneiras diferentes pode-
riam formar R$ 1,50 usando moedas de 5, 10, 25 ou 50 centavos, poden-
do repeti-las”.
Os alunos tentaram resolver usando esquemas de tentativas por
ensaio e erro e embora conseguissem várias soluções corretas, caram fal-
tando várias delas. Deo, um aluno idoso, valeu-se de moedas do dinheiro
simbólico que tinha à disposição na sala e conseguiu convencer os colegas
da certeza do seu encaminhamento. Segundo ele: “com as moedinhas ca
mais fácil; eu vou montando e depois é só tirar as repetidas”.
Então, a professora Ale intervém na discussão e propõe a cons-
trução de uma tabela para organização dos dados. Deo que, segundo ele
próprio, já tinha conseguido as soluções com o dinheiro simbólico, queria
falar todas as combinações, de imediato. A professora não permitiu e in-
dagou ao grupo sobre a melhor estratégia para começar. Deo argumentou
que era melhor começar com as moedas maiores. A professora elogiou a
indicação dele e o grupo concordou. Assim, os alunos apontavam as solu-
ções e ela anotava na lousa num esquema do tipo:
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
53
R$ 0,05 R$ 0,10 R$ 0,25 R$ 0,50
- - - 3
- - 2 2
1 2 1 2
- 5 - 2
2 4 - 2
4 3 - 2
6 2 - 2
8 1 - 2
10 - - 2
- - 4 1
1 2 3 1
3 1 3 1
5 - 3 1
- 5 2 1
2 4 2 1
- 5 2 1
10 - 2 1
1 7 1 1
3 6 1 1
Nesse ponto, Deo, já um tanto encabulado, exclama: “Nossa, ti-
nha esquecido um monte de respostas. Nem imaginava que pudessem ser tan-
tas... Professora, isso está certo?”.
Percebi a maioria dos alunos com essa indagação ao olharem para
a professora. Senti que também ela estava surpresa. Mas conteve-se e pro-
pôs aos alunos que conferissem os resultados para concluírem pela exatidão
das respostas. Então, Ale diz para a classe que quando zera a proposta do
problema também não imaginava que fossem tantas as combinações. E
que bastavam o que já tinham conseguido para o objetivo que estabelecera
para aquela aula.
Note-se que uma atividade muito simples resultou num amplo
contexto de negociação de sentidos e signicados de aprendizagem, permi-
tindo a exploração de noções matemáticas importantes tais como o trata-
mento e a organização de dados, o raciocínio multiplicativo, o raciocínio
54
aditivo, além do desenvolvimento de uma atitude de raciocínio num am-
biente de incerteza, por tentativa e erro.
Na sequência, a professora explorou signicativamente noções
de expressões numéricas que geralmente aparecem de forma arbitrária na
escola. A expressão 10 – (3 X 0,25 + 6 X 0,15) passou a signicar para os
alunos: “tenho 10 reais e compro 3 lápis que custam 25 centavos cada e 6
borrachas que custam 15 centavos cada. Quanto me resta?”.
Igualmente, a expressão numérica 10 + 2 X 5 + 5 X 1 passou a
signicar para os alunos: “uma nota de 10 reais, somada com duas notas
de 5 reais e mais 5 notas de 1 real”. A generalização desse pensamento
conduziu à ideia de que 2 X 20 – (10 + 3 X 5) = 15 signicaria que “tinha
duas notas de 20 reais e gastei uma nota de 10 reais e 3 notas de 5 reais no
supermercado, restando 15 reais”.
A compreensão, na devida conta, da relação concreto-abstrato
deve conduzir o educador da EJA a pensar, ainda, que:
Os materiais de ensino deixam de ser apenas aqueles criados com o m
de ensinar Matemática. O importante não é mais o material e, sim, a
intencionalidade do educador. Buscam-se, nos materiais estruturados e
nos jogos comerciais e tradicionais, formas de tratamento pedagógico
dos conteúdos de Matemática possíveis de serem desenvolvidos em sala
de aula (...). O que se torna importante não é mais o brinquedo e, sim,
o ato de brincar como elemento desencadeador de situações de apren-
dizagem. (MOURA, 1995, p. 22).
Isso implica, por exemplo, que, conforme o desenvolvimento
cognitivo do sujeito, até mesmo algo abstrato como um gráco ou um
esquema pode servir como mediação para a transição concreto-abstrato,
uma vez que permitiria a ele “sustentar” as hipóteses levantadas, testando
a sua veracidade de modo a avançar na construção da ideia matemática.
Diria, portanto, que a educação se congura como “matemática”
quando o conteúdo matemático é concebido como o conhecimento em
movimento, produzido coletivamente para resolver problemas tipicamente
matemáticos. No caso da EJA, isso pode fazer a diferença.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
55
APROPRIAÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO MEDIANTE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Pensar a educação matemática nos processos de EJA implica pen-
sar em propiciar aos educandos oportunidades de contar as suas experi-
ências, suas histórias de vida, de falar das heurísticas desenvolvidas para
enfrentamento das situações da realidade, de expor o que sabem sobre
ideias matemáticas e sobre suas necessidades cotidianas. Calcular, medir e
matematizar situações convencionais são requisitos para a vida social. Mas
isso ainda é pouco.
As competências exigidas do trabalhador pelas tecnologias de in-
formação impõem-nos pensar num processo de ensino de Matemática em
EJA, no qual o sujeito possa levantar hipóteses e testá-las, desenvolvendo
raciocínio argumentativo, de modo a estimular a construção de estratégias
para resolução de problemas, a discussão dos resultados e uma atitude per-
manente de busca de autonomia.
O tratamento integrado entre os temas da Matemática e destes
com as demais áreas do conhecimento deve trazer à tona, além dos co-
nhecimentos de números e operações tradicionais no trabalho da EJA, as
noções fundamentais de geometria, medidas e estatística, os conteúdos
voltados para o resgate da identidade cultural do educando adulto e para
a compreensão das relações de poder manifestas nos processos de produ-
ção, especialmente nas relações de trabalho produtivo, condições essenciais
para o exercício da cidadania. Isso se constata em depoimentos de educan-
dos jovens e adultos tais como o proferido por Cec:
Sou a melhor confeiteira da região. Sei colocar as medidas certinhas no
bolo. Isso ninguém precisa me ensinar. O que eu não sei é o que signica
aqueles números, um em cima do outro... Eu quero agora é poder passar a
receita para os outros, por escrito.
Na educação matemática de jovens e adultos, como de resto, em
qualquer processo de aprendizagem, o envolvimento ativo do aluno é uma
condição fundamental da aprendizagem. De fato, o aluno aprende quando
mobiliza os seus conhecimentos, os seus recursos cognitivos e afetivos com
vistas a atingir um dado objetivo.
56
Por isso, a educação matemática deve considerar como pressupos-
to o fato de que, para ser ensinado, o saber matemático acumulado deve
ser transformado, isto é, passar por um processo de transposição didática e
por uma compreensão do professor dos obstáculos epistemológicos que se
colocam no processo.
1
Impõe-se, portanto, ao educador, criar um bom ambiente de
aprendizagem, a partir do conhecimento que detém dos seus alunos. Não
há como falar em aprendizagem signicativa se não conhecermos os sujei-
tos de aprendizagem e suas motivações para aprender.
(DES)CONTEXTUALIZAR, HISTORICIZAR E ENREDAR
Há que se considerar, sob esse ponto de vista, que os conheci-
mentos matemáticos elaborados não podem colocar-se vinculados a um
contexto meramente concreto e único, isto é, devem ser passíveis de gene-
ralização e transferência a outros contextos:
O ensino e a aprendizagem da estrutura, mais do que simples domínio
de fatos e técnicas, está no centro do clássico problema da transferên-
cia. Há muitas coisas que compõem um aprendizado desse tipo, entre
as quais não são menos importantes as habilidades e hábitos básicos
que tornam possível o uso ativo das matérias a cuja compreensão se
tenha chegado. (BRUNER, 1978, p. 10 - 11).
O conhecimento matemático é construído signicativamente
quando pode ser mobilizado em situações diferentes daquelas que lhe de-
ram origem, ou, como deseja Bruner (1978), possa se consolidar como
transferível para novas situações. No extremo, os conhecimentos devem
ser descontextualizados, para serem novamente contextualizados. Assim é
que Dan, educadora de jovens e adultos, propôs aos seus alunos resolver o
seguinte problema:
Um agricultor deseja cercar, com uma tela de 48 metros de comprimen-
to, um terreno retangular para fazer uma horta que tivesse a maior área
possível. Vamos ajudar o agricultor, descobrindo quais seriam as dimensões
ideais do terreno, nas condições dadas?
1
A respeito, ver: CHARNAY, R. Aprendendo (com) a resolução de problemas. In: PARRA, C.; SAIZ, I.
(Org.). Didática da Matemática: reexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
57
Constataram-se manifestações de toda ordem. Alguns alunos -
zeram desenhos tentando descobrir a resposta ideal; outros disseram que
não sabiam calcular a área; e, outros, pensavam que a área fosse a soma das
medidas dos lados. A professora ilustrou, usando as dimensões da sala de
aula, o que seriam o perímetro ou a área. Então, Joa questiona:
A soma dos lados tem que ser 48m. Deve ter a maior superfície, também.
Professora, esse problema não é igual àquele das notas de dinheiro? Eu acho
que é 13m por 11m.
A professora assentiu que era possível e indagou sobre o que de-
veria ser registrado na tabela em função da analogia com o problema sobre
as notas de dinheiro simbólico. Os alunos foram indicando: lados (com-
primento e largura), soma das medidas dos lados (perímetro) e superfície
(área). De particular interesse foi denir qual seria o maior comprimen-
to possível para a horta. Sugeriram, aleatoriamente e sem muita reexão,
48m, 24m e 12 m. Até que Bar estabeleceu que:
Oia, não pode ser maior que 24m. Vixe!... Não pode ser nem 24m, se não
um lado ca em cima do outro. Professora, pode ser em metros e centímetros?
Após a professora informar que queria a resposta em metros, em
números inteiros, que não considerassem medidas compostas em metros e
centímetros, construiu-se a tabela:
Comprimento(m) Largura (m) Perímetro (m) Área (m²)
23 1 48 23
22 2 48 44
21 3 48 63
20 4 48 80
19 5 48 95
18 6 48 108
17 7 48 119
16 8 48 128
15 9 48 135
14 10 48 140
13 11 48 143
12 12 48 144
58
Alguns educandos queriam continuar com o desenvolvimento da
tabela, mas um aluno esclareceu que a partir daí começavam a repetir as
medidas. Com habilidade, a professora explorou as regularidades observa-
das na mesma: aumentando-se o comprimento, diminui-se a largura; o pe-
rímetro se mantém constante e a área varia, aumentando progressivamente
até o máximo de 144m².
Foi muito interessante notar a discussão que se estabeleceu sobre
a resposta adequada ao problema: 13m X 11m ou 12m X 12m. A professo-
ra aproveitou bem a oportunidade e explorou adequadamente os conceitos
de quadriláteros e paralelogramos, estabelecendo que “todo quadrado é um
retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado”.
Dessa forma, o contexto no qual se desenvolvem ideias matemá-
ticas é que permite não se perder aspectos importantes do raciocínio ao se
resolver um problema matemático.
É pela manutenção do sentido do todo e de cada operação mental,
particularmente, que o sujeito se torna apto a resolver adequadamente o
problema, como também a transferir para novas situações o conhecimento
construído na prática.
Nessa ação pedagógica, historicizar a abordagem das ideias ma-
temáticas como forma de se compreender a sua evolução e pensá-la como
processo de construção, bem como enredar os programas de ensino por
meio de conexões com questões do cotidiano dos alunos, com problemas
de outras áreas do conhecimento, ou ainda, entre os próprios temas da
Matemática, constitui a perspectiva metodológica de descoberta e trata-
mento desse conteúdo como linguagem que, como tal, consolida os pro-
cessos de leitura e de escrita.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pelo exposto, o estabelecimento de uma relação dialógica na aula
de EJA permitiu a expressão do pensamento autônomo. A comunicação
entre a educadora e os educandos possibilitou explorar os conhecimentos
prévios deles e constituiu a base para a transposição didática e a melhoria
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
59
da simbologia desenvolvida pelos alunos em função dos esquemas de pen-
samento que detinham e os códigos formais veiculados pela escola.
Desse modo, a trajetória percorrida permite-nos considerar que é
pressuposto básico na educação matemática de jovens e adultos o esforço
para o resgate do signicado do conteúdo matemático que se vai ensinar,
com vistas ao restabelecimento da relação entre conceitos e procedimentos
matemáticos e o mundo dos fenômenos vivenciados pelo homem.
Isso impõe pensar numa escola sintonizada com as necessidades
e aspirações populares cuja conduta pedagógica se constitui basicamente
em termos de “O que ensinar” (conteúdo), “Como ensinar?” (métodos),
“Por que ensinar?” (objetivos) e “Para quê? Para quem ensinar?” (realidade
objetiva).
Isso implica numa ampla revisão dos processos de formação de
professores que raramente consideram adequadamente a questão da espe-
cicidade dessa área do conhecimento e na reorganização dos programas
de ensino de Matemática numa perspectiva que evolua da concepção in-
ternalista, marcada pela linearidade dos currículos, para uma concepção
externalista cuja forma de organização dos currículos é histórico-lógica,
isto é, considera a forma de evolução histórica dos conceitos matemáticos.
Trata-se de considerar uma ação pedagógica que possa articular
adequadamente essas dimensões ou concepções de organização curricular
visto que a concepção internalista prevalecente no ensino da Matemática
pode favorecer a organização do pensamento lógico-matemático apenas
como um processo resultante do modo de pensar do matemático ao passo
que a concepção histórico-lógica permite ver a Matemática como constru-
ção humana, num processo de erros e acertos, avanços e recuos.
Por outro lado, é certo que a língua materna e a Matemática de-
sempenham no currículo básico um papel semelhante: ambas se prestam à
descrição, interpretação, criação de signicados e construção de esquemas
conceituais. Desse modo, pretende-se que o aprendizado da Matemática
na escola fundamental assuma os contornos de uma consolidação do pro-
cesso de alfabetização nos aspectos quantitativos da realidade, no reconhe-
cimento das formas, na articulação lógica dos signicados e no desenvol-
60
vimento gradativo da capacidade cognitiva de arquitetar soluções para os
problemas envolvendo grandezas.
O propósito é o de organizar situações pedagógicas que condu-
zam o educando à descoberta dos fatos fundamentais da Matemática de
modo a elaborar paulatinamente, em linhas gerais, as noções fundamen-
tais das estruturas conceituais, sem a preocupação com uma linguagem
formal decorrente de uma prematura formação de conceitos. Pelo expos-
to, registre-se a preocupação em estabelecer que ao tratar de determinado
conteúdo matemático, o professor tenha consciência de que a Matemática
passou por transformações ao longo de sua história e considere as impli-
cações pedagógicas de se investigar holisticamente a geração (cognição), a
organização intelectual (epistemologia), a organização sociocultural (histó-
ria) e a difusão (ensino) do conhecimento matemático.
Transformar a ação pedagógica na escola começa por denir que
o processo de construção do conhecimento matemático no ensino fun-
damental deve ter como ponto de partida a matemática como elemento
cultural, uma forma de comunicação humana.
Para tanto, parece imperativo formar um professor que tenha cla-
reza de que saber Matemática é condição necessária, mas não suciente,
para ensinar Matemática: há que se considerarem as implicações sociais,
psicológicas, losócas e políticas envolvidas nesse processo.
Em suma, trata-se de pensar a formação de um professor episte-
mologicamente curioso.
REFERÊNCIAS
BRUNER, J. S. O processo da educação. São Paulo: Nacional, 1978.
CHARLOT, B. Relação com o saber, formação dos professores e globalização:
questões para a educação hoje. Porto Alegre: Artmed, 2005.
MOURA, M. O. Formação do prossional de Educação Matemática. Temas e
Debates. São Paulo, v. 8, n. 7, p. 16-26, 1995.
OLIVEIRA, M. K. Jovens e adultos como sujeitos de conhecimento e
aprendizagem. Revista Brasileira de Educação, São Paulo, n. 12, p. 59-73, 1999.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
61
PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da Matemática: reexões
psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996.
POINCARÉ, H. Science et Méthode. Paris: Flamarion, 1927.
VIEIRA PINTO, A. Sete lições sobre a educação de adultos. São Paulo: Cortez,
1985.
62
63
C
COGNIÇÃO NUMÉRICA: CONTRIBUIÇÕES
DA PESQUISA À CLÍNICA
Flávia Heloísa dos Santos
Fabiana Silva Ribeiro
Paulo Adilson da Silva
Rosana Satiko Kikuchi
Juliana Molina
Marina Cury Tonoli
INTRODUÇÃO
O presente capítulo apresenta conceitos elementares relaciona-
dos à Cognição Numérica, por exemplo, cálculo e processamento numéri-
co
e os modelos de representação numérica. No que concerne ao desenvol-
vimento, parte de uma capacidade observável na fase pré-verbal, inata para
manipular pequenas quantidades sem necessidade do recurso da contagem,
denominada senso numérico; capacidade esta que seria estimulada na fase
escolar e culminaria no desenvolvimento da linha numérica mental que é
um produto da experiência. Déces no funcionamento do senso numérico
e problemas especícos no desenvolvimento de habilidades matemáticas
podem produzir a Discalculia do Desenvolvimento (DD). Este capítulo se
subdivide em duas partes, a primeira apresenta os estudos internacionais
sobre aspectos culturais e emocionais relacionados às habilidades matemá-
ticas, além de discutir as implicações educacionais e neuropsicológicas da
DD, principalmente durante a fase escolar, período em que o transtorno se
https://doi.org/10.36311/2016.978-85-7983-760-9.p63-98
64
manifesta de forma mais pronunciada. Na segunda parte será apresentada
uma breve coletânea de pesquisas brasileiras, sobre o desenvolvimento da
Cognição Numérica, bem como os fatores que inuenciam o seu rendi-
mento: idade, gênero, ambiente, método de ensino, nível socioeconômico
e estimulação musical.
CONCEITOS ELEMENTARES
A matemática, segundo Haskell (2000), é denida como um
conjunto de estruturas formais baseadas em regras particulares derivadas a
partir de um raciocínio compatível com um grupo de verdades lógicas, o
qual demanda habilidades cognitivas de alto nível para a manipulação de
operações matemáticas, compreensão conceitual e resolução de problemas.
A aritmética consiste no entendimento de fatos numéricos, contagem, clas-
sicação ordinal, leitura e manipulação dos símbolos e o conhecimento das
regras que regem as quatro operações básicas.
Cognição Numérica é a parte das neurociências que estuda as
bases cognitivas, neurais e do desenvolvimento dos números e matemá-
tica
. É inuenciada por fatores biológicos, cognitivos, educacionais e
culturais (COHEN; WALSH, 2009) e se constitui de dois sistemas de-
nominados primário (DEHAENE, 1997) e secundário (McCLOSKEY;
CARAMAZZA; BASILI, 1985).
Com relação ao sistema primário, Dehaene (1997) difundiu o
conceito de Senso Numérico (Number Sense), que seria uma capacidade
inata para reconhecer, comparar, somar e subtrair pequenas quantidades
sem recurso da contagem; a partir das experiências escolares uma Linha
Numérica Mental (Mental Number Line) que é orientada espacialmente e
representa quantidades se ampliaria progressivamente. Podemos exempli-
car o senso numérico pela capacidade para responder, se a quantidade 3
está mais próxima de 1 ou 10, enquanto que a linha numérica mental pode
ser ilustrada pela capacidade de identicar em um mapa a distância real
entre duas cidades, a partir de uma escala cartográca. O senso numérico
é considerado de extrema importância para o desenvolvimento das habi-
lidades matemáticas de modo que crianças com diculdades matemáticas
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
65
desenvolvem mais lentamente a capacidade de perceber diferenças de mag-
nitude numérica (DEHAENE, 2001)
Em relação ao sistema secundário, McCloskey, Caramazza e Basili
(1985) estabeleceram que o cálculo refere-se à realização de operações ma-
temáticas principais como adição, subtração, multiplicação e divisão, por
meio de símbolos (por exemplo, +, –, × ou ÷) ou palavras (por exemplo,
mais, menos, vezes, dividir), à recuperação desses e de outros fatos arit-
méticos básicos e à execução de procedimentos de cálculos aritméticos.
Por outro lado, o processamento numérico refere-se tanto ao entendimen-
to da natureza dos símbolos numéricos associados às suas quantidades,
quanto à produção numérica em forma de leitura, escrita e contagem de
quantidades.
Os sistemas da cognição numérica foram esquematizados na
Figura 1.
Figura 1: Organização dos sistemas da Cognição Numérica
Fonte: elaboração própria.
66
DESENVOLVIMENTO DA COGNIÇÃO NUMÉRICA
A capacidade numérica – que corresponde à compreensão implí-
cita
1
de numerosidade, ordinalidade, contagem e aritmética simples – apa-
rece desde o início do desenvolvimento humano e está presente também
de outras espécies animais, sugerindo sua abrangência universal (GEARY,
2000). Wynn (1992) demonstrou que bebês de 5 meses de idade podem
calcular os resultados de operações aritméticas simples em um pequeno
número de itens. Isto indica que os seres humanos são naturalmente do-
tados de habilidades aritméticas, e que antes do primeiro ano de vida já
estão ativos conceitos numéricos elementares. Este processo decorre da ca-
pacidade de subtização (subtizing) que é a habilidade de quanticar um
pequeno número de itens sem uma contagem consciente, que pode envol-
ver o reconhecimento de padrões perceptuais holísticos que não revelam
relações ordinais entre os números. A subtização seria um processo que
codica a informação ordinal, e não um procedimento de reconhecimento
de padrões, pois produz percepções não-numéricas.
Shinskey et al. (2009) evidenciaram que crianças de três anos
possuem melhor capacidade para fazer cálculos de adição do que de sub-
tração, por meio de representações aritméticas não simbólicas. Barth et al.
(2006) vericou que crianças de cinco anos de idade são capazes de realizar
operações básicas de aritmética (soma e subtração) com estímulos não sim-
bólicos (em padrão de pontos), sugerindo seu desenvolvimento durante
a infância. Crianças em torno dos oito anos de idade conseguem escrever
quantidades numéricas de três dígitos, reconhecer aritmética, símbolos e
realizar exercícios elementares em adição e subtração. Outras competências
como a habilidade para a multiplicação e a divisão são adquiridas entre 9 e
12 anos de idade (DEHAENE, 1997; GEARY, 2000). No ensino médio, a
complexidade desses processos aumenta, adquirindo procedimentos de vá-
rias etapas e em adultos as habilidades quantitativas são ligadas àquelas ad-
quiridas no ensino fundamental e médio (GEARY; FRENSCH; WILEY,
1993). Decorre que, indivíduos idosos (61 a 80 anos) apresentam melhor
desempenho do que indivíduos jovens (18 a 38 anos) na resolução de con-
tas de subtração (GEARY; FRENSCH; WILEY, 1993) e adição (GEARY;
1
Capacidade implícita diz respeito a uma intuição numérica, em outras palavras, a uma aritmética aproxi-
mada presente no homo sapiens. Constitui-se de um processo rápido, automático, e inacessível à introspecção
(DEHAENE et al. 2008). Este termo corresponde, ainda, ao senso numérico.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
67
WILEY, 1991), devido à maior prática na utilização de estratégias de reso-
luções aritméticas.
MODELOS DE COGNIÇÃO NUMÉRICA
Dehaene e Cohen (2000) propuseram o Modelo do Código
Triplo que postula três principais representações dos números: visual ará-
bico, verbal e analógico. Pode-se passar da forma verbal à forma visual
(escrever sob ditado) e inversamente (ler os números arábicos) sem neces-
sariamente ativar a “representação analógica das quantidades numéricas”
(sem associar os números à quantidade que eles representam).
Von Aster e Shalev (2007) defendem que as habilidades numéri-
cas inatas, assim como o senso numérico, sofreriam uma transição a partir
da fase pré-verbal, passando pela fase escolar até a idade adulta que culmi-
naria no desenvolvimento da linha numérica mental. Os autores postulam
que a linha numérica mental é um produto da experiência e do desen-
volvimento neuroplástico a qual depende tanto de um sistema numérico
intacto quanto do desenvolvimento de habilidades visuoespaciais, da lin-
guagem e da memória operacional, as quais ocupam lugar importante du-
rante a pré-escola e ensino fundamental. Ashkenazi, Mark-Zigdon e Henik
(2009) constataram que crianças com DD apresentam maior número de
erros na comparação numérica entre números de um dígito e maior tempo
de reação na comparação de números de dois dígitos em relação a crianças
do grupo controle. Os autores atribuíram este resultado a uma diculdade
para a diferenciação de quantidades nas crianças com DD, que é associada
à linha numérica mental e envolve a capacidade de representação analógica
de magnitudes numéricas (DEHAENE, 1992).
As habilidades básicas requeridas durante a infância são frequen-
temente interpretadas como conhecimento fundamental no processamen-
to numérico e em tarefas aritméticas. Dessa forma, pesquisas recentes têm
sugerido que um déce desde o nascimento na formação da unidade nu-
mérica (BUTTERWORTH, 1999), ou no senso numérico (DEHAENE,
1992; WILSON; DEHAENE, 2007) estaria subjacente aos problemas es-
pecícos do desenvolvimento de habilidade matemáticas, ou seja, à DD
(LANDERL; KÖLLE, 2009).
(Org.)
68
Segundo Von Aster e Shalev (2007) o Modelo de Desenvolvimento
para a Aquisição de Habilidades Numéricas constitui-se de quatro passos e
estes permitem possíveis previsões quanto às disfunções neuropsicológicas
associadas à DD. A Figura 2 apresenta os quatro passos do desenvolvimen-
to, conforme o modelo de cognição numérica proposto pelos autores.
Figura 2: Modelo de desenvolvimento para a aquisição de habilidades
numéricas
Fonte: adaptado de Von Aster & Shalev (2007); (Santos, Kikuchi & Ribeiro, 2009).
É importante salientar que este modelo está em convergência
com os modelos propostos por Dehaene (1997), onde o passo 1 correspon-
deria ao senso numérico mental e o passo 4 a linha numérica mental, além
disso o constructo teórico das baterias Zareki está orientado pelo modelo
do código triplo, explicitado acima (DEHAENE; COHEN, 2000; VON
ASTER, 2000), sendo compatível com o Modelo de Desenvolvimento
para a Aquisição de Habilidades Numéricas. Os três módulos funcionam
de maneira autônoma, interconectada e são ativadas de acordo com as
necessidades particulares de cada tarefa e constituem o sistema de proces-
samento numérico e cálculo. Desta forma, as habilidades de aproximação
e comparação numérica dependem de um modulo análogo, considerando
as habilidades como as de contagem (em operações como as de adição e
subtração) dependem do módulo verbal. As operações com diversos dígi-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
69
tos e atividades de julgamento contam o módulo arábico visual, em que
os números são representados pelo código Arábico (VON ASTER, 2000).
A memória operacional (working memory) é um modelo teórico
de múltiplos componentes que representa a função de armazenar e mani-
pular informações auditivo-verbais (alça fonológica) e não-verbais (esboço
visuoespacial) por curtos períodos de tempo, as quais são integradas em epi-
sódios coerentes (retentor episódico) e dependem de recursos atencionais
(executivo central) (BADDELEY; HITCH, 1974). O processo de apren-
dizagem matemática parece estar fortemente associado ao desenvolvimen-
to da capacidade de memória operacional (GATHERCOLE; ALLOWAY,
2004; GEARY, 2000; DUFF; LOGIE, 2001; GATHERCOLE et al.,
2006), sendo que a realização do cálculo numérico dependeria da ativação
de componentes da memória operacional (HITCH; McAULEY, 1991;
ALLOWAY, 2006; RUBINSTEN; HENIK, 2009).
Hitch e McAuley (1991) não observaram prejuízos em tarefas
de span de dígitos, que avalia a alça fonológica em crianças com dicul-
dades especícas na aprendizagem da aritmética, por outro lado, Du e
Logie (2001) destacaram a importância da memória operacional para o
entendimento das operações envolvidas no cálculo, sugerindo assim, que
os processamentos de componentes complexos verbais em tarefas de span
são apoiados pelo executivo central, enquanto que o armazenamento é for-
necido pela alça fonológica, destacando então componentes na memória
operacional. Outro estudo demonstrou que crianças com DD, apresentam
déces em memória operacional para informações visuoespaciais (SILVA;
SANTOS, 2011; SILVA; RIBEIRO; SANTOS, 2015).
DISFUNÇÕES DA COGNIÇÃO NUMÉRICA
Acalculia. Refere-se a uma condição em que pacientes com ha-
bilidades normais para cálculos desenvolvem prejuízos no processamen-
to numérico como consequência de uma lesão cerebral (HEILMAN;
VALENSTEIN, 2003). Três subtipos foram postulados por Hécaen et al.
(1961): i) Acalculia com alexia e agraa para números: prejuízo para ler ou
escrever números, associado a lesões no hemisfério esquerdo (principalmente
parietal); ii) Acalculia de tipo espacial: prejuízos na organização espacial de
70
números, com desalinhamento numérico e inversão dos números, associa-
dos a lesões no hemisfério direito; iii) Anaritmética: é diagnosticada quando
a acalculia não corresponde às outras duas denições. Denota a discalculia
primária, causada por lesões no hemisfério esquerdo e eventualmente por
lesões no hemisfério direito. Classicamente a acalculia é associada a lesões no
lobo parietal esquerdo e às afasias; contudo, a acalculia pode ser decorrente
de danos cerebrais em áreas distintas de cada hemisfério.
Síndrome de Gerstmann. É a constatação de quatro sinais neu-
ropsicológicos identicados (MAYER et al., 1999; MORENO et al.,
1991): 1) agnosia digital (falta de habilidade para reconhecer, identicar,
diferenciar, nomear, selecionar, determinar e orientar os dedos de maneira
normal); 2) desorientação direita-esquerda (incapacidade para nomear ou
determinar o lado direito e esquerdo dos objetos, incluindo as partes do
corpo); 3) agraa (alteração da linguagem escrita secundária por uma lesão
cortical); 4) acalculia.
Discalculia do Desenvolvimento (DD). Também denominada
Transtorno Especíco da Habilidade em Aritmética (CID-10; OMS,
1993) e Transtorno Especíco de Aprendizagem (DSM-5; APA, 2013)
é caracterizada como diculdade para realizar operações elementares de
adição, subtração, multiplicação e divisão, sem que isso seja resultado de
um ensino inadequado ou deciência intelectual exclusivamente (F81. 2,
OMS, 1993); o diagnóstico requer que tais operações sejam aferidas por
testes padronizados
2
(315.1; APA, 2013). Este transtorno pode também in-
uenciar de maneira consistente nas atividades da vida diária do indivíduo
afetado, particularmente as atividades acadêmicas (HAASE; SANTOS,
2014). A DD é um prejuízo persistente, associado à desatenção, escrita
pobre e ao Quociente Intelectual (QI) mais baixo (SHALEV; MANOR;
GROSS-TSUR, 2005).
Segundo Landerl et al. (2009) a DD seria proveniente de uma
modulação deciente dos números. Recentemente, discute-se se a DD se-
ria uma desordem múltipla ou única (KAUFMANN, 2008). Rubinsten
2
Instrumentos utilizados internacionalmente: Bateria de testes de compreensão de cálculos (Benton, 1963);
KeyMath-R, Keymath Diagnostic Arithmetic Test-Revised (Connolly, 1991), PIAT-R, Peabody Individual
Achievement Test-Revised (Markwardt, 1989). Entretanto, não se tem, até o presente momento, conhecimento
sobre estudos quanto à validação e a adaptação dos mesmos em nosso país. No Brasil, há estudos sendo condu-
zidos com as baterias Zareki-K e Zareki-R.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
71
e Henik (2009) propuseram uma diferenciação entre DD e problemas de
aprendizagem da matemática. A primeira seria uma diculdade especíca
no processamento quantitativo uma DD pura, baseada no modelo de cál-
culo de Dehaene e Cohen (2000) sugerem que a DD é causada por um dé-
ce no “senso numérico”, com substrato em regiões cerebrais intraparietais
(BUTTERWORTH, 2005; LANDERL; BEVAN; BUTTERWORTH,
2004). A segunda seria causada por déces cognitivos em outras habilida-
des cognitivas como: (i) baixa capacidade de representação verbal simbó-
lica; (ii) funções executivas prejudicadas, (iii) baixa capacidade de atenção
visuoespacial (WILSON; DEHAENE, 2007). De acordo com Landerl,
Bevan e Butterworth (2004), os subtipos de DD podem ser descritos em
comorbidade com outros Transtornos do Desenvolvimento Psicológico
(OMS, 1993).
Estudos recentes têm demonstrado que indivíduos com DD
possuem desempenho prejudicado em tarefas simples de processamen-
to numérico como: comparar e nomear dígitos, contar em sequência e
contar pequenos números de pontos; suas médias estão um, dois, três ou
mais desvios padrões abaixo do esperado em comparação às crianças de
mesma escolaridade (LANDERL; BEVAN; BUTTERWORTH, 2004;
ROUSSELLE; NOËL, 2007; LANDERL et al., 2008; LANDERL;
KÖLLE, 2009; SILVA; SANTOS, 2011; SILVA; RIBEIRO; SANTOS,
2015). A DD se manifesta nos primeiros anos escolares e possui como
características: problemas na recuperação da aritmética básica e em exer-
cícios de computação aritmética (GEARY, 1994). As crianças entre 9 e
10 anos podem apresentar graves diculdades para aprender aritmética e
compreender algoritmos de adição, subtração, multiplicação e divisão. No
entanto, ao longo dos anos elas podem adquirir conceitos básicos e escre-
ver números, ler, ou relacioná-los às palavras correspondentes (GROSS-
TSUR; MANOR; SHALEV, 1996; SHALEV; MANOR; GROSS-TSUR,
1997). Esse ganho parcial é sugestivo de uma desconexão entre concei-
tos de numerosidade e de símbolos que dão signicado aos números.
Enquanto a aquisição do conceito de numerosidade permitiria à criança
comparações não simbólicas de números, haveria uma inabilidade para
comparar os mesmos números expressos simbolicamente sob a forma de
dígitos (ROUSSELLE; NÖEL, 2007).
72
Trata-se de um Transtorno de Aprendizagem que afeta 5% da
população escolar (BADIAN; GHUBLIKIAN, 1983). Estudos popu-
lacionais em países como: Estados Unidos, Alemanha, Índia, Israel têm
demonstrado que a prevalência de DD atinge cerca de 3 a 6,5% da po-
pulação (BADIAN; GHUBLIKIAN, 1983; GROSS-TSUR; MANOR;
SHALEV, 1996; HEIN; BZUFKA; NEUMARKER, 2000; LEWIS,
HITCH & WALKER,1994; RAMMAA & GOWRAMMA, 2002) en-
quanto apenas um terço das crianças apresentam DD pura, que correspon-
de a uma prevalência de 1% (VON ASTER; SHALEV, 2007). Em cerca
de 25% dos casos, a DD é comórbida a outros transtornos, principalmente
ao Transtorno do Déce de Atenção/Hiperatividade (TDAH) e Dislexia
(GROSS-TSUR; MANOR; SHALEV, 1996; KOUMOULA et al., 2004;
SILVA; SANTOS, 2011; SILVA; RIBEIRO; SANTOS, 2015). Em geral,
crianças com DD em comorbidade com a dislexia são mais comprome-
tidas do que as crianças com DD pura ou em combinação com TDAH
(SHALEV; MANOR; GROSS-TSUR, 1997).
A DD é inuenciada por fatores genéticos (SHALEV, 2004;
HEILMAN; VALENSTEIN, 2003), uma vez que gêmeos monozigóticos
e dizigóticos possuem mais probabilidade de desenvolver a DD do que a
população em geral (ALARCON et al., 1997). Apesar de crianças com
DD apresentarem alterações na morfologia encefálica, como redução de
substância cinzenta e branca (ROTZER et al., 2008), outros fatores como
privação de ensino, classes heterogêneas e ansiedade podem intensicar a
manifestação do transtorno (SHALEV, 2004). Kaufmann (2008) apresen-
ta uma revisão em que se evidencia a associação neurológica e funcional
entre dedos e números, de maneira que a utilização dos dedos em tarefas
aritméticas subsidiaria a formação da representação mental numérica em
crianças escolares.
FATORES QUE INFLUENCIAM A COGNIÇÃO NUMÉRICA
O psicólogo é imprescindível na avaliação diagnóstica da DD,
considerando sua competência para ponderar a cerca da interação entre
aspectos cognitivos, emocionais e culturais; a avaliação médica será neces-
sária para o diagnóstico diferencial e estudo etiológico por meio de estu-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
73
dos genéticos e de neuroimagem. No entanto, uma equipe interdisciplinar
poderá auxiliar em distintos aspectos na intervenção na DD por meio de
condutas como discutir com os pais a natureza do prejuízo cognitivo da
criança; orientar tanto a criança como os pais e a escola quanto às opções
de tratamento mais apropriadas às necessidades da criança e fornecer expli-
cações sobre aspectos neurobiológicos subjacentes ao transtorno e impli-
cações da genética familiar (SHALEV, 2007). No processo diagnóstico, os
diversos fatores que podem inuenciar o desempenho matemático devem
ser considerados, a saber:
Educacionais. As escolas públicas e privadas possuem propostas pe-
dagógicas diferenciadas, visto que as escolas privadas adotam sistemas de en-
sino estruturado, caracterizados pelo uso de material próprio e pela organi-
zação das aulas, com a adoção das apostilas, criadas para serem utilizadas em
aulas do ensino fundamental, médio e de cursos pré-vestibulares, por outro
lado, a rede pública de ensino se utiliza do sistema de livros didáticos e possui
a progressão continuada (NEVES; BORUCHOVITCH, 2004). Avaliações
com a Zareki-R demonstraram desempenho similar nos testes entre crian-
ças das zonas urbanas e rurais (mas que frequentam escolas urbanas), apesar
de as crianças da zona rural geralmente apresentarem nível socioeconômico
mais baixo. Observa-se, portanto, que o nível socioeconômico de crianças da
zona rural não inuencia o desempenho delas em aritmética se as mesmas
estão submetidas ao mesmo método pedagógico e estimulação educacional
que as crianças da zona urbana (SANTOS et al., 2012).
Linguísticos. A linguagem possui inuência direta sobre a capaci-
dade de associação verbal e escrita na decodicação dos números (GEARY,
2000). Outro fator linguístico a ser considerado é a velocidade da pronún-
cia dos algarismos (NAVEH-BENJAMIN; AYRES, 1986) em que haveria
vantagem para línguas de pronúncia mais rápida ou de palavras mais curtas.
Ambientais. Dellatolas et al. (2000) compararam o desempenho
em habilidades matemáticas de crianças de 7 a 10 anos divididas em qua-
tro grupos de três países (Suíça, França e Brasil), sendo que no Brasil as
crianças foram dívidas em dois grupos: escolas do centro e da periferia de
Brasília. Entre os resultados observados, crianças brasileiras que frequen-
tavam escolas do centro da cidade apresentaram desempenho superior ao
de crianças de escolas periféricas, com nível socioeconômico mais baixo.
74
Este resultado foi corroborado por Santos, Paschoalini e Molina (2006)
na avaliação de crianças brasileiras de regiões rurais e urbanas da região
centro-oeste paulista, bem como por Koumoula et al. (2004) na avaliação
de crianças gregas rurais e urbanas.
Emocionais. A ansiedade matemática é um dos fatores emocionais
que pode inuenciar nas habilidades matemáticas, esta consiste em elemen-
tos como a angustia e o emocional (LIEBERT; MORRIS, 1967). A angus-
tia está relacionada a preocupações cognitivas sobre o próprio desempenho
do indivíduo e o emocional refere-se às reações siológicas no momento da
realização das tarefas, como aumento da pressão sanguínea e transpiração
(URHAHNE et al., 2011). Estudos recentes demonstraram que a ansiedade
à matemática é maior em meninas na escola primária e que as expectativas
dos pais na realização matemática das meninas é mais baixa, o que pode pre-
judicar o desempenho delas em matemática (KRINZINGER et al., 2012).
Essas diferenças de desempenho em relação à matemática entre os sexos não
são determinadas biologicamente, pois desaparecem em países que possuem
história evolutiva similar ou em sociedades com maior igualdade socioeco-
nômica entre os sexos (GUISO et al., 2008).
Plásticos. Neuroplasticidade é a capacidade do encéfalo, da infân-
cia até a velhice, mudar estruturas e funcionamento em sua organização,
em resposta a experiências ambientais. A plasticidade cortical ocorre du-
rante o processo de amadurecimento e desenvolvimento típico, em proces-
sos de aprendizagem e memória, na recuperação de danos cerebrais, mas
também como consequência de um ambiente rico ou muito pobre em
estimulação sensorial (WAN; SCHAULG, 2010). Estudos sugerem que o
treino musical poderia atuar como uma estratégia de reabilitação neurop-
sicológica, pois a música, linguagem, leitura e matemática compartilham
algumas propriedades acústicas como altura, ritmo e timbre, sendo assim
as crianças estimuladas por treino musical poderiam aprender esses con-
ceitos mais prontamente (ILARI, 2005; ANVARI et al., 2002). De acordo
com Musacchia et al. (2007) o treino musical modicaria a organização
cortical, que pode se estender às estruturas sensoriais subcorticais e alcan-
çar locais referentes ao processamento da fala, aumentando nos músicos o
controle do tronco encefálico tanto para estímulos auditivos como audio-
visuais. Schmithorst e Holland (2004) demonstraram que o treino musical
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
75
está associado com o aumento da ativação no giro fusiforme e no córtex
pré-frontal do hemisfério esquerdo e interpretaram este achado como uma
evidência de ligação entre o treino musical e a memória operacional.
ESTIMULAÇÃO DA COGNIÇÃO NUMÉRICA
O tratamento da DD deve abordar as múltiplas características
do transtorno incidindo sobre intervenções educativas para melhorar as
competências do estudo, no reforço da percepção numérica e aritmética
(LAMMINMAKI et al., 1997; SHALEV et al., 1998). Defende-se que a
reabilitação neuropsicológica deve se centrar no déce neurocognitivo sub-
jacente à DD, como prejuízos perceptivos, visuoespaciais, verbais e percep-
tivo-auditivos, recomendando-se como estratégia a verbalização de con-
ceitos aritméticos, processos e operações e uma orientação adequada em
relação aos conceitos na resolução de problemas (ROURKE; CONWAY,
1997; SHALEV, 2004).
Räsänen et al. (2009) estudaram dois jogos computadorizados
para intervenção intensiva e de curta duração para a melhora de habili-
dades numéricas básicas em crianças pré-escolares com desempenho ma-
temático insatisfatório. Concluíram que houve melhora no processo de
subitização e na repetição das tarefas, porém essas crianças não alcançaram
melhora signicativa em contagem.
Vilette, Mawart, Rusinek (2010) utilizaram o software
“Estimador” em crianças para promover a interação das representações
analógicas e simbólicas dos números na realização de operações de adição e
subtração. Neste estudo, metade das crianças com DD recebeu treinamen-
to com o Estimador e apresentaram melhora signicativa no desempenho
matemático. Os autores recomendam que esta interação seja adotada nos
programas de reabilitação e intervenção educativa.
A dissertação de mestrado de Fabiana Ribeiro, processo FAPESP
n.º 11/01907-4, teve por objetivo vericar se o Treino Musical produziria
efeitos persistentes sobre a Cognição Numérica por meio de um estudo
longitudinal em 58 crianças com 8 anos de idade. Cada criança realizou
três avaliações individuais: antes do início do treino, após sete sessões de
treino musical e ao m do treino musical. Todos os participantes recebe-
76
ram, durante três meses, sessões de treino musical semanais, com 60 minu-
tos de aulas em grupo, que envolveram dois tipos de estímulos, o Rítmico
e o Auditivo, como estratégia de estimulação complementar ao ensino for-
mal. Os resultados da terceira avaliação indicaram que as crianças do grupo
DD que receberam primeiro treino Auditivo e depois Rítmico obtiveram
ganhos para a compreensão numérica e para memória operacional visuo-
espacial e verbal em comparação com as crianças que receberam primeiro
o treino Rítmico e depois Auditivo, entretanto a capacidade de cálculo em
ambos os grupos ainda estava comprometida em comparação aos contro-
les. Portanto, apesar de a DD ser um transtorno persistente, a formação
musical poderia servir como ferramenta para a reabilitação da Cognição
Numérica. Contudo, a ordem dos diferentes tipos de metodologia pode
afetar os diferentes aspectos da cognição numérica, sendo que a metodo-
logia auditivo-musical aplicada primeiro à rítmica apresentaria melhores
benefícios na reabilitação de crianças com DD (RIBEIRO, 2013).
A seguir serão apresentados estudos brasileiros realizados na re-
gião Centro-Oeste Paulista em amostras pediátricas com instrumentos es-
pecializados para avaliação da Cognição Numérica – Zareki-R e Zareki-K
– cujos resultados são discutidos em relação aos fatores associados ao seu
desempenho, como: idade, gênero, ambiente, método de ensino, nível so-
cioeconômico e estimulação musical.
ESTUDOS BRASILEIROS SOBRE O DESENVOLVIMENTO DA COGNIÇÃO NUMÉRICA
Uma etapa que antecedeu ao desenvolvimento destes estudos foi
à cuidadosa adaptação para a língua portuguesa, levando em consideração
os aspectos culturais, descritos previamente (SANTOS; PASCHOALINI;
MOLINA, 2006). A validade de constructo da Zareki-R já foi demons-
trada por meio das correlações do seu escore total com os dois princi-
pais instrumentos brasileiros que avaliam a aritmética: Teste de Aritmética
(r=0,73) do Teste de Desempenho Escolar (TDE; STEIN, 1994); e do
subteste Aritmética do WISC-III (WESCHLER, 2002) com subtestes da
Zareki-R, por exemplo, contagem (r=0,59); cálculo (r=0,56) e memória
(r=0,51); as correlações do subteste Aritmética do WISC-III com o subtes-
tes do Zareki-K foram altas e moderadas, por exemplo, contagem (r=0,77);
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
77
transcodicação (r=0,72) e escore total (r=0,83) (SANTOS et al., 2012;
SANTOS; SILVA, 2008).
ASPECTOS ÉTICOS
Todos os estudos foram aprovados pelo Comitê de Ética da
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, processos nº.
1637/2005, 0311/05, 743/2007, 724/2008.
MATERIAIS
Em cada estudo, outros instrumentos complementaram o proto-
colo, tipicamente utilizados em avaliações neuropsicológicas pediátricas,
os quais não serão apresentados no presente capítulo. Foram utilizados os
seguintes instrumentos para avaliação da Cognição Numérica:
A Bateria para Avaliação do Tratamento dos Números e do Cálculo
para pré-escolares, Zareki-K (WEINHOLD-ZULAUF; SCHWEITER;
VON ASTER, 2003). Estruturalmente esta versão é muito similar ao
Zareki-R, contudo possui apenas 9 subtestes e tarefas com menor grau de
diculdade. Esta bateria foi utilizada somente no estudo 1 (para descri-
ção dos subtestes ver MOLINA et al., 2015; SANTOS; PASCHOALINI;
MOLINA, 2006).
A Bateria para Avaliação do Tratamento dos Números e do Cálculo na
Criança Revisada, ou Zareki-R (do alemão Neuropsychologische Testbatterie
fûr ZAhlenarbeitung und REtchnen bei KIndern) tem por nalidade ava-
liar a representação numérica por meio de diversas habilidades matemáti-
cas que se encontram em desenvolvimento durante a infância. Os escores
da bateria são indicadores da DD. A bateria avalia tanto processamento
numérico quanto cálculo, por meio de 12 subtestes (para descrição dos
mesmos, ver Santos et al., 2012). São eles: i) Enumeração de pontos (EP)
e ii) Estimativa visual de quantidades (EV); iii) Comparação de números
apresentados oralmente (CO); iv) Comparação de números escritos (CE)
e v) Estimativa contextual de quantidades (EC); vi) Contagem oral em
ordem inversa (CI); vii) Ditado de números (DN) e viii) Leitura de nú-
meros (LN); ix) Posicionamento de números em escala vertical (PE); x)
(Org.)
78
Cálculo mental (CM) e xi) Problemas aritméticos apresentados oralmente
(PA); xii) Memorização de dígitos (MD), tanto na ordem direta quanto na
ordem inversa. O Escore Total é computado pela soma de todos os subtes-
tes, exceto a Memorização de Dígitos. Por convenção em todos os grá cos
foram apresentadas as porcentagens de acertos.
ESTUDO 1. CRIANÇAS PRÉ-ESCOLARES DE 5 E 6 ANOS
Iniciação cientí ca de Juliana Molina, Processo FAPESP:
05/00595-8.
Foram avaliadas 42 crianças, de ambos os sexos, idade entre 5 e 6
anos, sendo 19 de regiões rurais e 23 de regiões urbanas, com o nível inte-
lectual normal - Percentil=54,75 ± 14,18 (MATRIZES PROGRESSIVAS
COLORIDAS DE RAVEN; ANGELINI et al., 1999); nível socio-
econômico médio (38±13), correspondendo à classe C (ALMEIDA;
WICKERHAUSER, 1991) por meio da Bateria para Avaliação do
Tratamento dos Números e do Cálculo para pré-escolares, Zareki-K
(WEINHOLD-ZULAUF; SCHWEITER; VON ASTER, 2003).
Na Figura 3 são apresentados os subtestes da Zareki-K, com a
seguinte legenda:
Figura 3: Resultados por idade obtidos em cada subteste da Zareki-K
Fonte: elaboração própria.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
79
CO=Contagem, PM=Problemas Matemáticos, MD=
Memorização de Dígitos, AS=Adição/Subtração, PN=Posicionamento de
Números em Escala Vertical, NQp=Noção de Quantidade-parte percepti-
va, TR=Transcodicação, NQ=Noção de Quantidade, CQ=Comparação
de Quantidades. Os demais grácos se referem aos subtestes da Zareki-R,
com a seguinte legenda: EP=Enumeração de Pontos; CI=Contagem Oral
em Ordem Inversa; DN=Ditado de Números; CM=Cálculo Mental;
LN=Leitura de Números; PE= Posicionamento de números em es-
cala vertical; MD=Memorização de Dígitos; CO=Comparação Oral;
EV=Estimativa Visual; EC=Estimativa no Contexto; PA=Problemas
Aritméticos; CE=Comparação Escrita.
A análise dos resultados obtidos da Zareki-K não identicou di-
ferenças entre os grupos urbano e rural em nenhum dos subtestes e nem
no escore total da bateria, tão pouco, diferenças quanto a gênero. Efeito
de idade foi observado nos subtestes: CO (t=-3,90, p=0,0003), PM (t=-
2,97, p=0,004), TR (t=-3,29, p=0,002), CQ (t= -3,28, p=0,002100) e no
escore total da Zareki-K (t=-3,49; p= 0,001), sendo que crianças de 6 anos
desempenharam de forma melhor que crianças de 5 anos.
ESTUDO 2. CRIANÇAS DE ESCOLAS PÚBLICAS E PRIVADAS DE 6 E 7 ANOS DE IDADE
Iniciação Cientíca de Rosana Satiko Kikuchi, Processo FAPESP:
08/54971-9
Foram selecionadas 40 crianças sendo 24 de escolas públicas e 16
de escolas particulares com níveis socioeconômicos estatisticamente dife-
rentes (t=3,46; p=0,001) com idade entre 6 anos (N=21) e 7 anos (N=19).
Os grupos diferiram quanto ao nível socioeconômico (t=3,46; p=0,001),
mas não foram encontradas diferenças associadas às escolas públicas e pri-
vadas na Zareki-R. As escolas particulares pertenciam a franquias difusas
pelo país e que utilizam sistemas de ensino que diferem do método utiliza-
do nas escolas públicas. Na comparação entre idades, as crianças de 7 anos
obtiveram escores signicativamente maiores do que as crianças de 6 anos
na maioria dos subtestes, com exceção de EP, CO, EV, EC e PA. A Figura
4 apresenta os resultados das análises realizadas.
(Org.)
80
PAR = de escolas particulares; PUB = de escolas públicas (as ini-
ciais dos subtestes são as mesmas nos sucessivos grá cos e foram descritas
no método, item materiais).
ESTUDO 3. CRIANÇAS DO ENSINO FUNDAMENTAL DE 7 A 12 ANOS
Iniciação Cientí ca de Bruna Paschoalini, Ana Luiza Dias e
Michele Frigério, com os respectivos Processos FAPESP: 05/00593-5,
05/00592-9 e 05/00593-5.
Figura 4: Resultados por grupo obtidos em cada subteste da Zareki-R
Fonte: elaboração própria.
Foram selecionadas 122 crianças de ambos os sexos e idade entre
7 e 12 anos, sendo 54 de regiões rurais e 68 de regiões urbanas, nível inte-
lectual normal – QIV= 106,6 ± 11,70 (WISC-III; WECHSLER, 2002),
com nível socioeconômico classi cado como C ou médio [35-58 pontos]
(ALMEIDA; WICKERHAUSER, 1991). Os resultados são apresentados
na Figura 5.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
81
Figura 5: Resultados por idade obtidos em cada subteste da Zareki-R
Fonte: elaboração própria.
As análises utilizando a MANCOVA, grupos rural e urbano como
covariável evidenciaram efeito de idade [R (60,490)=4,32; p<0,0001] para
todos os subtestes exceto para EP e EV. As crianças de 7 anos tiveram me-
nores escores do que as crianças de outras idades nos subtestes CI, PE, CO,
EC, PA e CE. As crianças de 7 e 8 anos exibiram desempenho inferior às
crianças mais velhas nos subtestes DN, CM e LN. (Para mais detalhes, ver
Santos e Silva, 2008).
ESTUDO 4. CRIANÇAS COM PREJUÍZOS EM ARITMÉTICA
Iniciação Cientí ca de Paulo Adilson Silva, Processo FAPESP:
05/60375-1.
Foram selecionadas 42 crianças, 22 meninos e 20 meninas, de
idade entre 9 e 10 anos, matriculadas em escolas públicas de 4.º e 5.º anos
do ensino fundamental. As crianças foram divididas em dois grupos: con-
trole (GC, N=21) e com prejuízo em aritmética (GPA, N=21), pareadas
por sexo e idade. Contudo, as crianças do grupo GPA exibiam transtornos
de aprendizagem caracterizados por uma defasagem de dois anos em rela-
ção às crianças de mesma idade e série escolar, aferidos pelo Escore Total
Bruto do TDE (09 anos, M= 71,20 ± 22,53; 10 anos, M= 89,26 ± 20,38).
Além disso, como critério especí co para Transtorno da Matemática foram
selecionadas crianças que obtiveram escores classi cados como inferior no
(Org.)
82
Teste de Aritmética do TDE (STEIN, 1994). Os resultados são apresenta-
dos na Figura 6.
Figura 6: Resultados por grupo obtidos em cada subteste da Zareki-R
GC= grupo controle; GPA = grupo com prejuízos em aritmética
Fonte: elaboração própria.
A análise de variância multivariada (MANOVA) revelou efeito
de grupo para todos os subtestes da bateria [R(12,29)=5,51; p<0,0001],
com exceção de EP e EV, nos demais subtestes as crianças GPA apresen-
taram escores signi cativamente menores que as crianças GC. No Total
da Zareki-R, o teste t de Student encontrou efeito de grupo [t= 7,10;
p<0,0001], no qual as crianças GC apresentaram escores maiores (2 desvios
padrão) que as crianças GPA (SILVA; SANTOS, 2009; SILVA; RIBEIRO;
SANTOS, 2015).
ESTUDO 5. CRIANÇAS COM TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM
Iniciação Cientí ca de Paulo Adilson Silva, Processo FAPESP:
05/60375-1.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
83
Figura 7: Resultados por grupo obtidos em cada subteste da Zareki-R
SDA= sem di culdade em aritmética; CDA = com di culdade em aritmética
Fonte: elaboração própria.
Participaram do estudo 30 crianças de idade entre 9 e 10 anos,
de ambos os sexos estudantes de escolas públicas que frequentam salas de
reforço em decorrência de acentuada di culdade de aprendizagem detec-
tada pelos professores e con rmada pelo Teste de Desempenho Escolar
(STEIN, 1994). As crianças foram separadas em dois grupos a partir do
Teste de Aritmética do TDE (t=4,09; p=0,0003): sem di culdade em arit-
mética (SDA; N=11) (M=18,7; DP=3,3) e com di culdade em aritmé-
tica (CDA; N=19), (M=12,7; DP=1,5). No teste Matrizes Progressivas
Coloridas de Raven (t=2,79; p=0,009), houve maior percentil para crian-
ças SDA (M=61,7; DP=19,2) do que CDA (M=45,8; DP=12,2), contudo,
ambos pertenciam ao Nível Intelectual Médio. Os resultados são apresen-
tados na Figura 7.
A análise dos resultados através do teste t revelou efeito de gru-
po para os subtestes Ditado de Números, Cálculo Mental e Problemas
Aritméticos. No escore Total da Zareki-R foi observada diferença signi ca-
tiva entre os grupos (t=3,19; p=0,003), no qual o grupo SDA apresentou
84
escores mais altos que o grupo CDA (cf. SANTOS; SILVA, 2008; SILVA;
SANTOS, 2011; SILVA; RIBEIRO; SANTOS, 2015).
ESTUDO 6. CRIANÇAS ESTIMULADAS POR MUSICALIZAÇÃO.
Iniciação Cientíca de Fabiana Silva Ribeiro, Processo FAPESP:
08/54970-2.
Foram avaliadas 40 crianças, com idade de 9 a 10 anos, de ambos
os sexos, de diferentes níveis socioeconômicos, sem problemas neuroló-
gicos e/ou psiquiátricos, que frequentassem as quartas e quintas séries do
ensino fundamental e que, simultaneamente zessem o curso de musicali-
zação na cidade de Ourinhos.
Estas crianças foram divididas em dois grupos: Iniciantes (n=20),
recém-inseridas no curso de musicalização – (com conteúdos básicos para
discriminar e perceber três dos elementos musicais: duração- o tempo de
produção do som, altura do som – grave, médio e agudo e o timbre – qua-
lidade do som, representado por meio de atividades lúdicas) e veteranas
(n=20) com um ano de curso de musicalização (estimuladas com conte-
údos para discriminar e perceber quatro elementos musicais: intensidade
– som mais fraco ou mais forte, com o aperfeiçoamento dos conceitos
como duração – o tempo de produção do som, altura do som e o timbre,
voltados à escrita e solfejo do que é escutado).
Conforme a Figura 8, o desempenho na Zareki-R demonstrou
que tanto iniciantes (escore total: M=152,57; DP=11,28) quanto vetera-
nas (M=150,62; DP=19,84) exibiram escores dentro do esperado para suas
idades segundo dados normativos brasileiros (M=148,3; DP=17,4). Em
todos os subtestes ambos os grupos obtiveram desempenho conforme o
esperado para suas idades, exceto no subteste MD em que os mesmos de-
sempenharam dois desvios-padrão acima da média para a idade (SANTOS
et al., 2012; RIBEIRO; SANTOS, 2012).
Posteriormente, a metodologia foi aperfeiçoada para um novo es-
tudo, incluindo avaliações em distintos momentos (pré-treino, durante e
pós-treino musical) e duas modalidades distintas de estimulação musical
(rítmica versus auditiva) para uma amostra de crianças com Discalculia do
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
85
Desenvolvimento em comparação a um grupo controle (RIBEIRO, 2013).
Por m, realizou-se um follow-up após seis meses da conclusão do treino
musical e veri cou-se que os ganhos cognitivos foram persistentes (o estudo
de seguimento constituiu a iniciação cientí ca de Marina Tonoli, processo
FAPESP 13/12071-0). Novos projetos desta linha de investigação estão em
desenvolvimento junto ao Programa de Pós-Graduação em Psicologia do
Desenvolvimento e Aprendizagem da UNESP, Campus Bauru.
Figura 8: Efeitos do treino musical sobre habilidades matemáticas
Fonte: elaboração própria.
DISCUSSÃO
O presente capítulo apresentou uma revisão da literatura interna-
cional acerca da DD e de seus desdobramentos com o intuito de elucidar
o estado da arte a respeito deste transtorno e ainda exibiu as pesquisas
realizadas em nosso meio, com as quais foi possível investigar os efeitos de
idade, método de ensino, nível socioeconômico e ambiente sobre as habi-
lidades matemáticas.
No estudo 1 foram avaliadas crianças pré-escolares por meio da
Zareki-K. Os resultados indicaram que crianças de 5 e 6 anos apresentam
diferenças entre si em tarefas de contagem, transcodi cação e comparação
numérica e problemas matemáticos simples, sugerindo que mesmo nas mo-
86
dalidades pré-escolares há discrepância no processamento numérico para in-
formações não-verbais, verbais e simbólicas, sendo que as crianças de 6 anos
apresentavam mais acertos do que as crianças de 5 anos (McCLOSKEY;
CARAMAZZA; BASILI, 1985; GEARY, 2000; SANTOS; PASCHOALINI;
MOLINA, 2006; MOLINA et al., 2015). Apesar da Zareki-K avaliar o pro-
cessamento de habilidades numéricas básicas com estímulos concretos (por
exemplo, pontos pretos, dedos e cubos), algumas tarefas da bateria avaliam
também o processamento simbólico dos números (dígitos), cuja aquisição
depende de escolarização (VON ASTER; SHALEV, 2007), o que poderia
em parte, justicar o baixo percentual de acertos no escore total, que não
ultrapassou os 50% de acerto para crianças de 5 e 6 anos.
O estudo 2 avaliou crianças de 6 e 7 anos de idade de escolas
públicas e privadas por meio da Zareki-R. Nenhuma das crianças desta
amostra eram pré-escolares, pois o estudo foi realizado após a implanta-
ção do novo sistema de ensino no estado de São Paulo, no qual o Ensino
Fundamental passou a ter duração de nove anos, com início aos 6 anos de
idade. Portanto, as crianças de 6 anos eram matriculadas no 1.º ano esco-
lar e as crianças de 7 anos eram matriculadas no 2.º Ano que corresponde
á antiga 1. série. Neste estudo, as crianças de 7 anos tiveram desempe-
nho superior às crianças de 6 anos, que estavam no início da escolarização
formal, principalmente nas tarefas que necessitam do sistema de proces-
samento simbólico verbal e visual-arábico (por exemplo, ditado e leitura
de número, cálculo mental, comparação escrita), que segundo o Modelo
de Desenvolvimento para a Aquisição de Habilidades Numéricas de Von
Aster e Shalev (2007) são mais complexos.
Em relação ao tipo de escola, como observado, não houve di-
ferença entre os resultados de crianças de escola pública e privada no de-
sempenho da Zareki-R, sugerindo que o método de ensino não exerceu
inuência signicativa no início da aprendizagem da matemática, isto é,
nos primeiros anos de ensino formal. Um estudo prévio realizado com
crianças brasileiras (DELLATOLAS et al., 2000) ressaltou a inuência do
nível socioeconômico sobre o desempenho. Em nosso estudo as diferenças
socioeconômicas encontradas eram pequenas: crianças de escola particular
pertenciam à classe B1 e de escola pública à classe B2, que correspondem
respectivamente às rendas médias de R$ 3.479,00 e R$ 2.013,00; por-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
87
tanto, no presente estudo este fator pouco inuenciou o desempenho das
crianças. Por outro lado, é importante ressaltar que o estudo é preliminar e
que os resultados ora apresentados não podem ser generalizados.
No estudo 3, foram apresentadas comparações entre crianças de 7 a
12 anos na realização da Zareki-R. As principais diferenças em relação às ha-
bilidades matemáticas foram observadas entre as crianças de 7 e de 8 anos em
comparação àquelas com mais idades, sugerindo que, na cultura brasileira, as
crianças a partir dos 9 anos de idade já evidenciam consolidação de algumas
habilidades numéricas como leitura e ditado de números, assim como com-
paração oral e escrita, que são dependentes de processamento simbólico dos
números, facilitando atividades dependentes dessas habilidades, como a re-
alização de procedimentos de cálculos aritméticos de várias etapas ou mani-
pulação de número de grandes magnitudes (GEARY, 2000; McCLOSKEY;
CARAMAZZA; BASILI, 1985; VON ASTER; SHALEV, 2007).
A partir da porcentagem dos grupos nos subtestes especícos
pode-se demonstrar o Modelo de Aquisição de Habilidades Numéricas
(VON ASTER; SHALEV, 2007): EP – as crianças de 7 anos obtiveram
pontuação acima de 80% porque esta tarefa se enquadra ao passo 1, pois
se utiliza do sistema cardinal e envolve quantidades concretas; CI – as
crianças de 8 a 12 anos obtiveram pontuação dentro dos 80%, por ser
uma atividade relacionada ao passo 2 que envolve estratégias de contagem,
portanto as crianças de 7 anos ainda não desenvolveram esta habilidade;
DN – as crianças de 10 a 12 anos apresentaram acertos acima de 90%, esta
tarefa se enquadra no passo 3, pois envolve o domínio do sistema arábico
de números; CM – as crianças de 9 a 12 anos obtiveram acertos acima de
70%, subteste este que pode ser apontado como uma tarefa do passo 4,
devido a utilização do pensamento aritmético para sua realização; LN – as
crianças de 9 a 12 anos pontuaram acima de 90%, pois é uma tarefa rela-
cionada ao passo 3; PE – as crianças de 10 a 12 anos acertaram 70%, tarefa
relacionada ao passo 4; CO – crianças de 9, 11 e 12 acertaram acima de
90%, habilidade relacionada ao passo 2; EV – as crianças acima de 9 anos
exibiram pontuação superior aos 70%, habilidade relacionada ao passo 1;
EC- crianças de 8 a 12 anos pontuaram acima de 60 %, atividade relacio-
nada ao passo 2; PA – as crianças de 12 anos obtiveram pontuações acima
de 70%, atividade enquadrada no passo 4; CE – as crianças de 8 a 12 anos
88
pontuaram acima de 90% e as crianças de 7 acima de 70%, habilidade
relacionada ao passo 1.
Estes resultados são consistentes com a ideia de que a aprendizagem
da matemática não segue os estágios propostos por Piaget (1952). A teoria
Piagetiana defende que as crianças não possuiriam nenhuma representação
estável e que o conhecimento da aritmética emergiria lentamente como uma
construção lógica. Conforme revisão de Dehaene (2009), estudos da década
de 1970 demonstraram que crianças pré-escolares possuíam intuições arit-
méticas (senso numérico), isto é, capacidade para detectar mudanças ines-
peradas em uma numerosidade pequena ou alterações na contagem regular.
Os estudos de Wynn (1992) conrmaram o caráter inato de habilidades
numéricas como estimativa e subitização em bebês, e atualmente, um grande
conjunto de estudos comportamentais usando os paradigmas de habituação
e alteração de expectativa tem revelado uma sensibilidade clara para números
grandes em bebês de 4 à 6 meses de idade (DEHAENE, 2009).
Os estudos 1, 2 e 3 em conjunto, demonstraram em geral, que
o desenvolvimento das habilidades matemáticas está associado à idade e
à escolaridade, porém não de forma linear, mas de maneira que as ha-
bilidades especícas se desenvolvem respeitando os passos do Modelo de
Desenvolvimento para a Aquisição de Habilidades Numéricas, tendo um
início inato ganhando complexidade a partir do ensino formal. Por exem-
plo, observou-se que tarefas com estímulos concretos, como contagem
de pontos e estimativa visual, são processados com facilidade mesmo em
crianças mais novas como as de 5 anos; e que crianças acima desta idade
até os 12 anos não apresentam diferença estatística nestas tarefas. Estes re-
sultados vão ao encontro com os modelos de representação numérica que
propõem que há uma tendência inata para processar os números (senso
numérico) e que um sistema central primário seria responsável por este
processamento (DEHAENE, 1997; DEHAENE; COHEN, 2000; VON
ASTER; SHALEV, 2007; GEARY, 2000).
Por outro lado, em conformidade com outros estudos
(DELLATOLAS et al., 2000; KOUMOULA et al., 2004), algumas tarefas
foram mais sensíveis para diferenciar crianças de diferentes idades e níveis
escolares, como as tarefas de contagem oral em ordem inversa, ditado e
leitura de números, comparação escrita, posicionamento de número em
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
89
escalas verticais, cálculo mental e problemas aritméticos, nas quais o de-
sempenho das crianças progrediu em função do ensino formal. Como po-
demos observar, são tarefas que abrangem tanto o processamento das mag-
nitudes numéricas quanto o cálculo propriamente dito (McCLOSKEY;
CARAMAZZA; BASILI, 1985; GEARY; FRESCH; WILEY, 1993;
GEARY, 2000; VON ASTER; SHALEV, 2007; LANDERL; KÖLLE,
2009; WEINHOLD-ZULAUF; SCHWEITER; VON ASTER, 2003).
Foi possível demonstrar nos estudos 4 e 5 a aplicabilidade clí-
nica da bateria Zareki-R como instrumento sensível para a identicação
de transtornos de aprendizagem associados às habilidades matemáticas
em crianças brasileiras, assim como em estudos internacionais (BZUFKA;
HEIN; NEUMARKER, 2000; DELLATOLAS et al., 2000; ROTZER et
al., 2009). Como podemos observar no estudo 4, as crianças com trans-
torno de aprendizagem que apresentavam problemas com a aritmética exi-
biram prejuízo em quase todos os aspectos das representações numéricas,
com exceção de enumeração de pontos e estimativa visual, que conforme
descrito acima são processados por um sistema numérico central primá-
rio e básico (VON ASTER; SHALEV, 2007). Para todas as outras tarefas
da bateria, os escores das crianças do grupo GPA foram inferiores esta-
tisticamente, mas os prejuízos foram acentuadamente maiores nas duas
tarefas de cálculo, além disso, o escore Total da Zareki-R esteve 2 desvios-
-padrão abaixo dos controles (SILVA; SANTOS, 2009; SILVA; RIBEIRO;
SANTOS, 2015), que é um dos critérios para o diagnóstico de DD (APA,
2013). Esses resultados em conjunto são de extrema importância para a
elaboração de um programa de reabilitação neuropsicológica, pois, neste
caso, a intervenção poderá ser focada apenas nos aspectos mais comple-
xos da representação numérica (por exemplo, representações simbólicas
verbais e visuais ou de magnitudes ordinais), visto que os sistemas básicos
estão preservados (VON ASTER; SHALEV, 2007).
O estudo 5 apresentou as diferenças entre crianças com proble-
mas de aprendizagem e foi possível observar que quando comparadas às
crianças com outros problemas de aprendizagem, as crianças com dicul-
dades especícas em aritmética apresentaram prejuízos apenas em ditado
de números e, principalmente em cálculo aritmético. Estas diculdades são
90
as mais signicativamente associadas à DD e sua persistência (ROTZER et
al., 2009; SHALEV; MANOR; GROSS-TSUR, 2005).
No estudo 6, que avaliou crianças estimuladas por musicalização,
o escore total da Zareki-R tanto de iniciantes quanto de veteranas foi equi-
valente aos dados normativos brasileiros para crianças de mesma idade. Em
todos os subtestes ambos os grupos obtiveram desempenho esperado para
suas idades exceto na Memorização de Dígitos em que ambos os grupos de-
sempenharam dois desvios-padrão acima da média para a idade (SANTOS
et al., 2012; SANTOS; SILVA, 2008; SILVA; SANTOS, 2009). Infere-se
que crianças com treino musical possuem maior aproveitamento de sua
capacidade mnemônica o que pode contribuir para o desenvolvimento das
habilidades matemáticas (GATHERCOLE; ALLOWAY, 2004; GEARY,
2000; DUFF; LOGIE, 2001; ALLOWAY et al., 2004; GATHERCOLE et
al., 2006) e que o treino musical pode ser utilizado como uma alternativa
na reabilitação das habilidades matemáticas. De acordo com Schellenberg
(2005), quanto maior e duradouro o tempo de treino musical, indepen-
dente da condição socioeconômica da família, mais duradouras serão as
diferenças entre os grupos de crianças em treino musical e sem treino. É
importante ressaltar, ainda que este tenha sido o primeiro estudo brasileiro
utilizando a Zareki-R para investigação dos efeitos do treino musical sob
habilidades matemáticas de crianças de 9 e 10 anos.
Com relação ao fator ambiental, tanto no estudo 1 (crianças de
5 e 6) quanto no estudo 3 (crianças de 7 a 12 anos) as amostras foram
balanceadas quanto a procedência, rurais e urbanos. Entre as crianças ava-
liadas pelo Zareki-K não foram observadas diferenças no desempenho,
sugerindo que o teste seja menos inuenciado por fatores culturais. No
que concerne ao Zareki-R, crianças rurais tiveram pontuações mais baixas
do que as crianças urbanas apenas em duas tarefas (MD e CE), demons-
trando o cálculo preservado, enquanto que no estudo de Koumoula et al.
(2004) as crianças rurais obtiveram baixas pontuações em sete subtestes da
Zareki-R (explicitado), incluindo a CE, mas não MD. Em estudos ante-
riores foi sugerido que um baixo nível socioeconômico e de ambiente edu-
cacional poderiam determinar tais diferenças (DELLATOLAS et al., 2000;
KOUMOULA et al., 2004). No presente estudo, o status socioeconômico
foi avaliado objetivamente e a análise estatística indicou que crianças rurais
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
91
de fato tiveram pontuações mais baixas na escala socioeconômica do que
as crianças urbanas. Apesar disso, o grupo rural mostrou uma pontuação
levemente abaixo do esperado para idade, restrita a um aspecto do proces-
samento numérico, mesmo assim, a magnitude de efeito demonstrou que
esta diferença foi de pequena magnitude. Isto signica que, apesar dessa
discrepância socioeconômica, ambos os grupos realizaram a Zareki-R de
forma similar. Uma vez que todas as crianças da zona rural estudavam
na mesma escola que as crianças urbanas, portanto, sob a mesma estimu-
lação educacional, observou-se que o método pedagógico pode ser mais
determinante no desempenho aritmético do que o status socioeconômico
(SANTOS et al., 2012).
CONCLUSÃO
Os estudos brasileiros realizados com a Zareki-K e R puderam
identicar aspectos como: i) diferenças no desempenho associadas à idade
em que crianças com mais idade apresentaram melhores escores, conr-
mando a hipótese de que haja um progressivo desenvolvimento destas ha-
bilidades, ii) desempenho similar entre crianças de escolas públicas e parti-
culares, com a ressalva de que a diferença socioeconômica foi considerada
mínima e que as escolas públicas eram localizadas no centro da cidade,
iii) prejuízos em sistemas numéricos de processamento simbólico verbais
e visuais e de cálculo, sem prejuízos em processamento básico; e iv) de-
sempenho dentro do esperado no escore total em crianças normais e com
iniciação musical tanto do grupo de iniciantes quanto do grupo de expe-
rientes, contudo desempenho superior em um dos subtestes (Memorização
de dígitos).
AGRADECIMENTOS
Às crianças, familiares e instituições de ensino que participaram
destes estudos. Aos pesquisadores e colaboradores Dr. Georges Dellatolas
e Professor Michael Von Aster. À FAPESP pelo subsídio aos autores e ao
Acordo de Cooperação Internacional processo n.º 04/11.067-0 sem o qual
o conjunto destes estudos não poderia ter sido realizado.
92
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C
V
ISÕES CONFLITANTES SOBRE A
MATEMÁTICA: POSSÍVEL CONCILIAÇÃO
À
LUZ DA PESQUISA EMPÍRICA
Paulo Estevão Andrade
Paulo Sérgio Teixeira do Prado
O conhecimento das coisas matemáticas é quase
inato em nós… Esta é a mais fácil das ciências, um
fato óbvio em que nenhum cérebro o rejeita; pois
leigos e pessoas totalmente iletradas sabem como
contar e calcular.Roger Bacon (1219–1294)
A matemática pode ser denida como o assunto
no qual nunca sabemos do que estamos falando,
nem se o que estamos dizendo é verdade.Bertrand
Russell (1872–1970)
INTRODUÇÃO
Ao citar os dois autores na epígrafe acima, Feigenson, Dehaene
e
Spelke (2004) se perguntam como é possível ver a matemática sob pers-
pectivas tão distintas e conitantes, as quais, porém, retratam uma reali-
dade que todos conhecemos: a demonstração tão precoce e espontânea de
habilidades numéricas pelas crianças, juntamente com o fato de a maioria
dos escolares e adultos achar a matemática extremamente difícil.
https://doi.org/10.36311/2016.978-85-7983-760-9.p99-170
100
Há algum tempo se estuda como as crianças desenvolvem os
conceitos, a linguagem, aprendem aritmética e os processos de desenvol-
vimento do pensamento. Os primeiros meses de vida dos bebês é uma
época fascinante. Por volta dos seis meses eles começam a manipular mais
rmemente os objetos e a brincar com eles. E entre 10 e 12 meses dão
demonstrações de que já entendem algumas palavras. Então nosso encan-
tamento pelas suas habilidades sociais, memória e inteligência tornam-se
ainda maiores. É comum observarmos orgulhosos como são “vivos” e es-
pertos. Mas como eles aprendem tão rapidamente todas essas habilidades?
É inegável que o processo envolve grande dose de aprendizado. Mas, seria
esse fator exclusivo, ou as crianças já nascem com alguns circuitos cerebrais
especiais e uma motivação também especial? Estaríamos alguns de nós su-
perestimando suas capacidades, ou os bebês já são capazes de pensar mes-
mo antes de terem aprendido a falar? São eles realmente seres inteligentes
como imaginamos? E qual o papel da linguagem no desenvolvimento da
inteligência humana? Isto é, a linguagem é uma ferramenta do pensamento
ou é ela própria a origem e a base do pensamento? A busca por respostas
a essas questões é fundamental para compreendermos claramente como se
desenvolve o conceito de número, o que é o comportamento numérico e,
enm, a matemática. Ela tem se dado sobre diferentes bases epistemológi-
cas, gerando resultados distintos, razão pela qual optamos por expor umas
e outros e suas relações, de modo a fornecer o contexto de ideias atuais
sobre o conhecimento matemático.
LOGICISMO, INTUICIONISMO E FORMALISMO
Grosso modo, há duas correntes epistemológicas subjacentes à
ciência de um modo geral e, de modo mais especíco, à psicologia, por
um lado e, por outro, à matemática. Por séculos os estudiosos têm deba-
tido sobre se o conhecimento é inato ou adquirido. O empirismo, escola
losóca iniciada pelo inglês John Locke (1632-1704), propõe que todo
o conhecimento humano é adquirido por meio da experiência. A mente
humana é uma espécie de tábula rasa, uma folha em branco sobre a qual
as experiências vão sendo impressas pouco a pouco, formando o conheci-
mento. Uma alternativa ao empirismo é o inatismo (ou nativismo), noção
segundo a qual pelo menos alguns aspectos do conhecimento são inatos.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
101
Trata-se de uma ideia antiga, que remonta ao lósofo grego Platão, desde
400 anos antes de Cristo (STANFORD, 2005) e reelaborada por René
Descartes (1596-1650), inuente lósofo e matemático francês, que de-
fendia que o raciocínio é uma faculdade unicamente humana, uma capa-
cidade inata ao homem (DESCARTES, 1986). O alemão Immanuel Kant
(1724-1804), outro inuente lósofo, também defendia um nativismo,
segundo o qual algumas categorias mentais preexistentes, como noções in-
tuitivas de tempo e espaço, ltram as informações sensoriais na construção
do conhecimento.
O empirismo e o inatismo se fazem presentes nas diferentes for-
mas de se pensar a matemática. Ao reportar as principais correntes de pen-
samento dessa ciência, Nogueira (2006) observa que durante boa parte
do Século XIX a geometria euclidiana foi considerada a base do conhe-
cimento, mas a descoberta das geometrias não-euclidianas abalou não só
os alicerces da matemática, mas de todo o conhecimento. Desde então os
matemáticos passaram a buscar na aritmética uma “nova base sólida” para
explicar o conhecimento matemático. Dentre as diversas correntes surgi-
das, três se destacaram: o logicismo, o intuicionismo e o formalismo que,
segundo Nogueira (2006), continuam até hoje a dividir os matemáticos
quanto aos fundamentos de sua disciplina.
O logicismo, do matemático alemão Friedrich Ludwig Gottlob
Frege (1848-1925), denia toda expressão aritmética em termos lógicos,
eliminando qualquer recurso à intuição e à linguagem comum, tese que o
lósofo e matemático britânico Bertrand Russell (1872-1970) retomou,
procurando demonstrar “que a matemática pura (incluída aí a geometria)
poderia ser inteiramente deduzida da lógica.” (NOGUEIRA, 2006, p.
137). Conforme Nogueira (2006), na visão de Frege, Russel e outros lo-
gicistas, o número seria denido em termos de classes e de relações seriais.
Dada uma coleção, o aspecto cardinal seria estabelecido por aquilo que os
elementos têm em comum entre si, permitindo que sejam agrupados em
classes. Quanto ao aspecto ordinal, este seria estabelecido pelas relações as-
simétricas entre os elementos da coleção, isto é, por aquilo que eles têm de
diferente e que possibilita que sejam seriados, por exemplo: do menor ao
maior (NOGUEIRA, 2006, p. 141). O número, pois, seria denido como
uma “classe de classes”: uma classe abstrata em que o número 1 é a classe
102
de todos os conjuntos unitários, o 2 a classe de todos os pares possíveis, o
número 3 é a classe de todos os trios, etc.
O intuicionismo matemático foi profundamente inuenciado
pelas categorias mentais a priori ou inatas do pensamento de Kant, de
modo que o tempo seria a fundamentação da intuição de número e, con-
sequentemente, de toda a aritmética; e o espaço alicerçaria a geometria
(NOGUEIRA, 2006, p. 128). As ideias de Kant constituíram a base do in-
tuicionismo do matemático, físico e lósofo francês, Jules Henri Poincaré
(1854-1912), o maior crítico do reducionismo lógico. Ele reivindicava que
“para fazer aritmética, assim como para fazer geometria, é preciso algo mais
que a lógica pura”, sendo a intuição este “algo mais” (POINCARÉ, 1995,
p. 18, apud NOGUEIRA, 2006, p. 143). Para Poincaré, o verdadeiro ra-
ciocínio matemático se originaria da intuição de número, a única intuição
passível de certeza (NOGUEIRA, 2006). Poincaré apontava a existência
de um círculo vicioso no logicismo, “porque o número já estaria presente
ao se estabelecer a correspondência biunívoca entre os objetos singulares”,
pois o simples fato de dizermos: “um homem” isto já implica na individu-
ação de um objeto e uma classe singular em que está implícito o número 1
(NOGUEIRA, 2006, p. 141). Em suma, a intuição do número puro para
Poincaré não é a de um número especíco e sim de um número qualquer,
isto é, a “faculdade de conceber que uma unidade pode agregar-se a um
conjunto de unidades” (POINCARÉ, 1943, p. 37, apud NOGUEIRA,
2006, p. 143).
Finalmente, temos o formalismo, baseado nos estudos do mate-
mático alemão David Hilbert (1862-1943). Embora valorizasse a lógica,
o formalismo de Hilbert sustentava que a base da matemática não está na
lógica, mas sim no estudo dos sistemas simbólicos formais, ou seja, a ma-
temática se resumiria em “uma coleção de desenvolvimentos abstratos em
que os termos são meros símbolos e as armações são apenas fórmulas en-
volvendo esses símbolos” (NOGUEIRA, 2006, p. 137). Nogueira (2006,
p. 140) comenta que o formalismo teve curta existência após ter sido de-
monstrado “que não é possível provar a consistência de um sistema dedu-
tivo formalizado capaz de abranger toda a matemática clássica com todos
os seus princípios lógicos”, de modo que o debate acerca dos fundamentos
da matemática se centralizou em torno do logicismo e do intuicionismo.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
103
COGNIÇÃO NUMÉRICA
Não obstante toda a discussão acima, nenhuma das principais
correntes do pensamento matemático conseguiu uma resposta satisfatória
para explicar a natureza e a origem do número. Foi Piaget o primeiro a pro-
por que “somente uma investigação genética poderia conduzir a uma res-
posta mais conclusiva” (NOGUEIRA, 2006, p. 136). Em outras palavras,
Piaget reivindicou que as investigações sobre o desenvolvimento cognitivo
da criança seriam a grande oportunidade de realmente conhecermos como
se formam os conceitos e qual seria a natureza do conceito de número.
No contexto da abordagem histórica e losóca sobre a busca do
“conceito de número” reportada nesta introdução, e no da reivindicação de
Piaget de que é a psicologia o principal caminho que nos ajudará a esclarecer
a origem e a natureza do número, é que se desenvolverá o presente capítu-
lo. Inicialmente, veremos como vertentes losócas inuenciaram teorias
psicológicas sobre o desenvolvimento cognitivo. Em seguida, abordaremos
as teorias que predominam no Brasil e como elas abordam a questão do
conceito do número e o ensino da matemática, relacionando-as às prin-
cipais correntes do pensamento matemático aqui esboçadas. Finalmente,
trataremos das mais recentes pesquisas sobre o desenvolvimento cognitivo
na moderna psicologia experimental e na neurociência cognitiva e suas
implicações para as teorias clássicas do desenvolvimento cognitivo e do
conceito de número e seu ensino.
AS PRINCIPAIS TEORIAS DO DESENVOLVIMENTO COGNITIVO E SUAS ORIGENS
No debate empirismo x inatismo, relacionado com o debate mais
especíco sobre o conceito de número: logicismo x intuicionismo, a visão
da mente da criança como uma tábula rasa inuenciou a maior parte das
teorias sobre o desenvolvimento cognitivo.
Entre os mais inuentes empiristas encontra-se o aclamado
cientista alemão, Hermann L. F. von Helmholtz (1821-1894), um dos
fundadores da psicofísica e da psicologia experimental (GAZZANIGA;
HEATHERTON,2005; LENT, 2001). Helmholtz propôs uma teoria da
104
percepção baseada na inferência inconsciente, de acordo com a qual for-
mamos percepções, ideias e relações sobre as coisas quase que naturalmente
quando as experimentamos recorrentemente. Helmholtz já havia arma-
do, em 1867, que o conhecimento surge na criança à medida que ela ex-
perimenta sistematicamente o mundo físico manipulando as coisas que
vê e que tais manipulações começariam por volta dos seis meses de idade
(HELMHOLTZ, 1962; SPELKE, 1998).
A percepção do bebê se restringiria, inicialmente, ao que se apre-
senta imediatamente aos sentidos. Ele só começaria a aprender além dos
padrões sensórios imediatos por volta dos seis meses, quando age mais efe-
tivamente no ambiente. Nesse período os bebês começam a relacionar as
sensações visuais entre si como que mudando umas em relação às outras e
a relacionar as sensações que surgem de suas ações. A partir dessas relações
visuais e visomotoras, os bebês iriam aprendendo que certas propriedades
dos arranjos visuais estão relacionadas a certas propriedades dos corpos que
eles “sentem”, que as margens colineares de um arranjo na retina tendem a
pertencer a um único objeto movível e assim por diante (HELMHOLTZ,
1962; SPELKE, 1998). Em suma, nessa visão empirista as funções psi-
cológicas se desenvolvem de fora para dentro, isto é, a percepção e a ação
se desenvolvem com base na experiência sensorial e motora, ao passo que
o pensamento se desenvolve com base na percepção e na ação (SPELKE,
1998; GELMAN, 2002; para uma revisão em português veja ANDRADE,
2006a, 2006b).
A visão de Helmholtz parece ter exercido forte inuência sobre
importantes personagens da psicologia. Conforme notou Meltzo (2002,
p. 7), nas visões clássicas do desenvolvimento intelectual, particularmente
representadas nos escritos de Piaget, Vygotsky e Freud, o neonato é uma
parte destacada do corpo do adulto em termos físicos, nada além disso.
(veja também ANDRADE, 2006a, 2006b; SEIDL-DE-MOURA, 2004)
Para Freud, por exemplo, no neonato haveria apenas o nascimento físico e
não um nascimento mental. A concepção piagetiana não é muito diferen-
te. Piaget (1970a, 1970b) armou que o bebê é um solipsista (do latim solus
= só, único + ipse = mesmo)
1
. Na visão de Vygotsky, “a criança nos seus
1
Solipsismo é uma doutrina losóca segundo a qual a única realidade do mundo é o eu e que toda a realidade se
resume nas experiências subjetivas e exclusivas do indivíduo, em suma, é a crença de que além de nós, só existem
as nossas experiências (ANDRADE, 2006a, 2006b).
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
105
primeiros meses é uma criatura estritamente orgânica e associal, separada
do mundo externo e totalmente limitada às suas funções siológicas [...],
às fronteiras de seu próprio organismo e qualquer coisa que lhe traga pra-
zer” (VYGOTSKY; LURIA, 1993, p. 150; veja também LURIA, 1976).
Gelman (2002) agrupa as várias teorias do desenvolvimento
cognitivo em cinco grandes grupos ou tipos principais, dos quais quatro
podem ser consideradas de base empirista (SPELKE, 1998; GELMAN,
2002). O primeiro tipo, muito relevante para a educação no mundo todo,
é a “teoria do aprendizado”. Segundo ela, o bebê nasce com um conjunto
de reexos (sucção, choro, preensão palmar etc.), os quais compõem um
repertório básico de interação com o meio. Alguns desses reexos, poste-
riormente, vêm a car sob controle operante, o que signica que as ações
do bebê operarão em seu meio ambiente (físico e social) produzindo con-
sequências e estas, por sua vez, terão um efeito retroativo sobre o organis-
mo, no sentido de alterar a frequência daquelas ações para mais ou para
menos. Por exemplo, o choro tem como consequência nal a obtenção de
alimento ou a remoção de um desconforto como o causado por fraldas
sujas. Ambas essas consequências são providas pela mãe, elemento funda-
mental no meio social do bebê. O resultado é que a criança aprenderá a
usar o choro como um meio de comunicação para atrair a atenção da mãe,
que suprirá suas necessidades. Nessa teoria, o conhecimento é o resultado
da interação do organismo com o seu meio e da capacidade de bebês e
crianças em formarem associações entre os diversos estímulos, de modo
que os conceitos reetem “as forças associativas que são construídas como
uma função da frequência com a qual as sensações contíguas são experi-
mentadas” (GELMAN, 2002, p. 2).
Um segundo tipo é a “teoria do processamento da informação”.
Ela se baseia no funcionamento do computador, em que inputs (infor-
mações entrantes) são processados, gerando outputs (comportamento).
Grande atenção é dispensada ao processamento e modelos teóricos são for-
mulados, muitos dos quais testados empiricamente por pesquisas neuro-
cientícas. Exemplo notável é o da memória, com suas diversas subdivisões
categorizadas em memórias de curto e de longo prazos, a transformação
de uma em outra e os modos de estocagem e recuperação da informação.
Assume-se que os bebês vêm ao mundo equipados com alguns mecanis-
106
mos sensoriais e perceptivos (com os sistemas visual e auditivo altamente
organizados), juntamente com sistemas cognitivos muito básicos e sem
nenhuma especicidade de domínio, tais como uma memória de curto
prazo e uma grande capacidade de associação.
O terceiro tipo de teoria é a abordagem sociocultural. Assim
como a “teoria do aprendizado” e a “teoria do processamento da infor-
mação”, ela também considera o desenvolvimento como uma função da
experiência, a qual se inicia com processos sensoriais e motores de natureza
geral, baseados somente nos reexos inatos para depois se consubstancia-
rem em experiências conceituais e baseadas na linguagem. Porém, o que
distingue a abordagem sociocultural diferenciando-a das duas primeiras é
a ênfase na sensibilidade e maleabilidade dos bebês às interações sociais e
sua importância na aquisição dos conceitos, ou seja, o papel mais ativo do
bebê no seu próprio desenvolvimento cognitivo. Dentro da abordagem
sociocultural, as ideias de Piaget e Vygotsky representam um quarto tipo
de pensamento que compreende as teorias socioconstrutivistas, as quais
constituem a base norteadora da educação no Brasil nos últimos 30 anos.
As teorias socioconstrutivistas assumem que o desenvolvimento da inte-
ligência se dá ao longo de sucessivos estágios, nos quais os conceitos se
formam de maneira progressiva, diferenciando-se qualitativamente à me-
dida que avançam. As estruturas cognitivas mais iniciais são de propósitos
gerais, tornando a criança suscetível a equívocos de interpretações das in-
formações e a erros conceituais.
A despeito de diferenças fundamentais entre os quatro primeiros
tipos de teorias acima resumidos, todas convergem no sentido de que os
bebês vêm ao mundo desprovidos de qualquer estrutura mental mais com-
plexa que lhes permitam a formação de conceitos, por mais simples que
sejam, mesmo a simples individuação de um objeto (GELMAN, 2002;
SEIDL-DE-MOURA, 2004; ANDRADE, 2006a, 2006b). Em outras pa-
lavras, os bebês vêm ao mundo sem uma estrutura mental que se relacione
diretamente com o tipo de mundo conceitual, linguístico e social que eles
vão encontrar na sociedade. Outra ideia compartilhada pelas quatro teorias
é que as crianças precisam de aproximadamente dois anos para começar a
fazer representações internas do mundo.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
107
Dessas quatro correntes teóricas, nós focaremos somente a “te-
oria da aprendizagem”, a partir da visão da análise do comportamento
e as teorias socioconstrutivistas, uma vez que estas constituem as teorias
de maior inuência e relevância para a educação no Brasil (SEIDL-DE-
MOURA, 2004; ANDRADE, 2006a; 2006b). A primeira tem sua re-
levância principalmente porque é uma das correntes mais presentes nos
currículos de graduação e pós-graduação, tanto dos cursos de psicologia
quanto nos de educação. E a segunda porque tem sido tomada como norte
não só em termos curriculares, mas das políticas educacionais do país, in-
cluindo as orientações pedagógicas fundamentais ditadas pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCNs).
O quinto tipo corresponde a um grupo de teorias mais atuais, as
quais são agrupadas sob o rótulo provisório de “construtivismo racional”.
Trata-se de estudos motivados pelo trabalho inestimável e seminal de au-
tores como Piaget, Vygotsky e Skinner e assumem com eles a importância
do ambiente e o papel ativo da criança na aquisição do conhecimento. Ao
mesmo tempo, porém, assumem também que há uma série de habilidades
inatas, incluindo percepções complexas e conceitos básicos que motivam
e ajudam a criança a selecionar e aprender sobre os aspectos relevantes do
meio. Levam-se em conta tanto evidências comportamentais quanto neu-
rológicas, que trazem à luz os equívocos da visão empirista (GAZZANIGA;
HEATHERTON, 2005, p. 342).
Pesquisas demonstram que bebês preferem estímulos visuais
apresentando padrões da face humana a estímulos semelhantes sem tais
padrões e que eles prestam mais atenção a estímulos novos, auditivos ou vi-
suais, do que a estímulos familiares, o que evidencia sua capacidade discri-
minativa e permite inferir memória auditiva e visual. Bebês recém-nascidos
são capazes de discriminar entre a prosódia (ritmo e entonação) da fala de
sua língua materna e de uma língua estrangeira. Eles também discrimi-
nam todas as centenas de sons linguísticos (fonemas) do mundo todo, bem
como melodias musicais, sendo capazes de lembrar melodias ouvidas ainda
na fase intrauterina. E, algo impressionante, bebês de poucos meses dis-
criminam arranjos de estímulos visuais ou auditivos diferindo em nume-
rosidade, assim como apresentam noção rudimentar de soma e subtração
108
(para revisões mais exaustivas desses temas e referências mais completas,
ver ANDRADE, 2006a, 2006b; ANDRADE; PRADO, 2003).
Graças a um corpo crescente de evidências produzidas por uma
série de recursos disponíveis atualmente – como os de neuroimagem, en-
tre vários outros – somada a evidências comportamentais, hoje conhecemos
a complexidade cerebral presente desde o nascimento, com áreas inteiras
que já vêm diferenciadas e complexamente interconectadas (ANDRADE,
2006a, 2006b), envolvidas diferencialmente em modalidades sensório-per-
ceptivas e motoras, bem como em habilidades cognitivas como memória
de curto prazo, números, linguagem, música etc. Como já havia proposto
William James no século XIX, a mente é um recurso siológico como ou-
tro qualquer, que passou a existir e a funcionar do modo como funciona
porque ajudou o organismo a se adaptar melhor ao meio ambiente, à so-
brevivência e à transmissão de genes para futuras gerações (GAZZANIGA;
HEATHERTON, 2005). Por conseguinte, a continuidade entre biologia e
cultura (ANDRADE, 2006a, 2006b; BUSSAB, 2000; PRADO, 2010) deve
ser mais amplamente discutida e nortear as pesquisas tanto sobre a aquisição
e desenvolvimento de habilidades culturalmente construídas, incluindo as
habilidades numéricas (PRADO, 2010), como sobre diculdades de apren-
dizagem relativamente especícas (ANDRADE, 2006a, 2006b).
Nas seções seguintes, discutiremos como as teorias socioconstruti-
vistas e a análise do comportamento veem o conceito de número e o desen-
volvimento das habilidades numéricas na criança e de que forma a linguagem
está relacionada a essas competências. Depois faremos uma breve incursão
sobre as mais recentes abordagens da psicologia experimental e da neuro-
ciência cognitiva e a produção de evidências cientícas sobre os correlatos
neurais dos principais aspectos do comportamento numérico. Finalmente,
discutiremos as implicações desses achados para as diferentes teorias e para a
pesquisa sobre a aprendizagem da matemática e suas diculdades.
A ORIGEM DOS CONCEITOS NAS TEORIAS SOCIOCONSTRUTIVISTAS DE PIAGET E
VYGOTSKY
Piaget e Vygotsky são os dois teóricos da psicologia com maior
inuência na educação brasileira. Em que pesem diferenças fundamen-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
109
tais entre eles, particularmente com relação ao papel da linguagem, ambos
convergem em dois princípios básicos. Primeiro, não há nada de inato na
cognição humana, isto é, os neonatos saem do útero materno com um re-
pertório limitado de reexos e uma motivação para aprender. Segundo, no
primeiro ano de vida o bebê não possui percepção nem memória estáveis.
Somente após um longo período de experiências sensório-motoras, que se
inicia aos quatro meses e se completa por volta de um ano e meio a dois
anos, é que a criança se torna capaz de representar mentalmente objetos,
eventos, etc. em termos de conceitos e de raciocinar sobre eles.
A partir desses dois princípios, outros dois são postulados. O ter-
ceiro é que a partir dos dois anos, devido às limitações das primeiras expe-
riências perceptivas e motoras as primeiras concepções dos bebês e crianças
novas são inapropriadas, pois se baseiam em percepções mais primitivas do
que as dos adultos, governadas por uma lógica própria, qualitativamente
distinta. Um quarto princípio sustenta que na medida em que as crianças
se desenvolvem, elas superam essas limitações, de modo que as concepções
iniciais sofrem mudanças qualitativas, dando lugar a concepções cada vez
mais apropriadas, numa progressão em estágios de desenvolvimento cog-
nitivo, até chegarem às concepções adultas.
Por exemplo, uma tese central de Piaget é que “no começo está
a ação” e tudo começa na “lógica das ações” (LIMA, 1999, p. 217), de
modo que a vida psicológica do organismo é a ação ou comportamento
interiorizado (LIMA, 1999, p. 145). Isto é, os bebês são equipados com
esquemas de ação que estão funcionais desde o nascimento: os reexos
de sucção e preensão, sensibilidade à luz e ao som, o choro, os gritos e
fonações, movimentos dos braços, da cabeça ou do tronco, etc. Mas, entre
zero e 18 meses (estágio sensório-motor) eles ainda não diferenciam entre
o eu e o mundo ao redor. Piaget (1970b) argumenta que após o quarto
mês, embora a criança comece a coordenar seus esquemas – por exemplo:
agarrando objetos e levando-os à boca (preensão, sucção), balançando-os
para produzir sons, (motor, auditivo) etc. – ela ainda não possui a noção
de “permanência do objeto”, isto é, não consegue pensar sobre ele na sua
ausência, não o representa interiormente. É como se, fora do campo de
visão, o objeto deixasse de existir. Essa noção só se desenvolveria por volta
de 18 meses.
110
Piaget (1970a) também demonstrou que nos primeiros anos de
vida, aproximadamente entre dois e sete anos (estágio pré-operacional),
os conceitos das crianças sobre o mundo dos objetos, suas relações físi-
cas, espaciais, quantitativas etc. ainda são incompletos e imperfeitos, o que
pode ser observado pelas suas respostas a perguntas especícas sobre física
e aritmética básicas. Por exemplo, quando transformamos uma bola de
argila para um formato alongado, como o de uma salsicha, ou transferi-
mos a mesma quantidade de líquido de um copo largo e baixo para outro
mais estreito e alto, as crianças no estágio pré-operatório normalmente não
compreendem que há conservação da massa ou líquido e acreditam num
aumento (ou diminuição) de sua quantidade.
Vygotsky (1986) concorda basicamente com as descrições de
Piaget, às quais ele se referiu como os “novos fatos” descobertos por um
método que se constitui numa “ferramenta inestimável para o estudo do
pensamento da criança” e “nos dá quadros da vida real, coerentes e detalha-
dos” (VYGOTSKY, 1986, p. 14). De forma semelhante a Piaget, Vygotsky
e Luria (1996) argumentaram que entre dois e quatro anos, o mundo ex-
terno é percebido de uma maneira primitiva, pois as percepções visuais são
governadas por princípios diferentes e não há, para a criança, coisas tais
como profundidade e perspectiva. O mundo visual seria percebido como
tão próximo que a criança tenta agarrar e tocar coisas que se encontram
fora de seu alcance.
Como apontado acima, há duas diferenças fundamentais entre
Piaget e Vygotsky. A primeira reside no papel da linguagem e na função da
fala egocêntrica no desenvolvimento dos conceitos e da inteligência, esta
um aspecto fundamental nas teorias de ambos. A fala egocêntrica se refere
a uma fase em que parte signicativa da fala do pré-escolar não se dirige a
um interlocutor especíco nem leva em conta o conhecimento ou os inte-
resses do ouvinte (ELLIOT, 1982, p. 43; ver também MONTOYA, 2006).
Na perspectiva de Piaget, a inteligência não se origina na linguagem, mas,
ao contrário, a linguagem é uma consequência de desenvolvimentos inter-
nos, como a aquisição da permanência do objeto e da capacidade de pensar
ou produzir imagens mentais sobre os objetos e ações (por volta de um ano
e meio), à qual Piaget denominou de “função semiótica” (MONTOYA,
2006). Em outras palavras, toda inteligência, assim como a própria lingua-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
111
gem, tem na função semiótica um marco fundamental (LIMA, 1999, p.
100). Assim, não obstante a linguagem nunca aparecer como um objeto
do desenvolvimento na teoria piagetiana, ela aparece com uma importan-
te ferramenta metodológica. Nesse sentido, Piaget a utilizou como uma
fonte de dados sobre as aquisições cognitivas num determinado momento
do desenvolvimento, de modo que para ele a fala egocêntrica reete for-
mas rudimentares de pensamento. Vygotsky, em contraste, via a linguagem
como um objeto do desenvolvimento e como precursora do pensamento
na sua forma verbal (ELLIOT, 1982). Para o autor (VYGOTSKY, 1986;
VYGOTSKY; LURIA, 1996), os esquemas sensório-motores não são for-
mas rudimentares de pensamento e inteligência que evoluem para a lógica
formal dos adultos, como acreditava Piaget, mas apenas capacidades pura-
mente utilitárias e não inteligentes: é o surgimento da linguagem, por volta
dos dois anos, que determina o pensamento que, através da fala egocêntri-
ca, vai aos poucos se tornando fala interna que, no adulto se constitui no
pensamento verbal, a essência do pensamento.
Um pequeno acidente é tomado por Vygotsky como evidência de
que a fala egocêntrica não permanece como um mero acompanhamento
da atividade psíquica da criança. Uma menina de cinco anos e meio dese-
nhava um bonde e de repente a ponta de seu lápis quebrou. Vendo, então,
frustrada sua tentativa de tentar pressionar fortemente o lápis contra o pa-
pel para continuar o desenho, ela murmurou para si mesma: “está quebra-
do”. A partir daí ela mudou seus planos e recorreu às aquarelas, passando a
desenhar um bonde que se quebrou após um acidente, “continuando a falar
consigo mesma de tempos em tempos sobre a mudança em seu desenho”
(VYGOTSKY, 1986, p. 31). Ele observou que esta mudança de projeto
ocorreu somente após a criança ter murmurado para si mesma “quebrou”,
e desde esse momento em que a criança passou a falar consigo mesma
ela mudou o seu desenho. Vygotsky interpretou que a fala egocêntrica foi
provocada pelo “acidente” e, por sua vez, a atividade da criança de uma
forma que não pode ser interpretada apenas como um mero subproduto
do pensamento, mas sim um fator determinante de mudanças altamen-
te complexas, tornando-se uma função de direção e planejamento, assim
elevando seus atos ao nível do comportamento intencional, autodirigido
com a mediação da linguagem (VYGOTSKY, 1986). A fala egocêntrica
112
não pode ser confundida como um mero subproduto do pensamento, “um
acompanhamento que não interfere na melodia” (VYGOTSKY, 1986, p.
31-32). Ela é um estágio intermediário para a fala interna ou pensamen-
to verbal do adulto, caracterizando a linguagem como um componente
essencial e inextricável do pensamento, nos mesmos moldes do lósofo e
linguista alemão Wilhelm von Humboldt (1767-1835).
A segunda diferença fundamental entre os dois autores refere-se à
forma como os conceitos se desenvolvem. Para Piaget, os conceitos espon-
tâneos da criança e os conceitos aprendidos dos adultos são sempre qua-
litativamente distintos e mutuamente antagônicos e o desenvolvimento é
caracterizado por sucessivos conitos cognitivos entre uma fase e outra. Os
conitos cognitivos ocorrem quando os esquemas sensório-motores exis-
tentes são incapazes de assimilar novas informações, gerando um desequi-
líbrio, o que força a criança a construir novos esquemas sensório-motores
de assimilação e acomodação (LIMA, 1999). Os conitos cognitivos nos
pontos de “transição” entre uma fase e outra, que são a essência do desen-
volvimento e do aprendizado na teoria piagetiana, representam uma no-
ção de descontinuidade no desenvolvimento dos conceitos. Em contraste,
Vygotsky (1986, p. 155-157) sustenta que o desenvolvimento dos concei-
tos espontâneos e não espontâneos não são antagônicos, mas sim análo-
gos e “estão relacionados e inuenciam constantemente um ao outro”, de
modo que o desenvolvimento cognitivo é um processo contínuo e único.
Analisemos agora a proposta de Piaget com relação ao conceito
de número sob uma perspectiva do desenvolvimento cognitivo.
O NÚMERO E A MATEMÁTICA EM PIAGET
Piaget e Szeminska (1981) publicaram um estudo sobre o desen-
volvimento do conceito de número, feito com crianças no período pré-
-operatório (dois a sete anos). As tarefas foram ministradas no contexto do
método clínico, que se baseia na livre conversação entre o experimentador
e a criança. As perguntas seguem o rumo determinado pelas respostas do
participante e, naquele caso, focavam o que Piaget considerava as princi-
pais “qualidades” ou “necessidades” do número para existir “a conserva-
ção de quantidades (condição de todo e qualquer conhecimento), a corres-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
113
pondência termo a termo (essencial para a contagem), a determinação da
cardinalidade e do princípio ordinal (aspectos indissociáveis do número)”
(NOGUEIRA, 2006, p. 136). A noção da conservação de massa foi testa-
da nas tarefas de ‘transformação física’ de massa de modelar, de volume na
transposição da mesma quantidade de líquidos em diferentes recipientes, e
de número na comparação de leiras mais ou menos alongadas contendo o
mesmo número de objetos. A “correspondência termo-a-termo” (ou biuní-
voca) se refere à habilidade de designar cada palavra-número da contagem
a um, e somente um, determinado objeto da coleção. E, nalmente, a
determinação da “cardinalidade” é a compreensão de que a última palavra-
-número corresponde à quantidade total da coleção contada.
Nesses estudos, Piaget e Szeminska (1981) observaram que no
estágio pré-operacional (dois a sete anos) as imagens mentais já permitem
o desenvolvimento da habilidade de agrupar objetos em classes ou ordená-
-los em séries, isto é, operar sobre as relações simétricas (agrupar objetos de
acordo com suas semelhanças em certas qualidades como cor, formato etc.)
e assimétricas (ordenar ou seriar os objetos de acordo com suas diferenças,
como o tamanho). Entretanto, nesse período a criança ainda não adquiriu
a noção de “conservação de quantidades” (massa, volume e número) de
modo que quando objetos ou grupos de objetos são transformados na for-
ma ou ordem, sem alterar a quantidade, ela sempre responde, por exemplo,
que há “mais” massinha depois que uma bola de argila é alongada e que há
mais líquido depois que este é transferido de um copo baixo e largo para
outro mais estreito e alto. Em suma, nessa fase predomina um pensamento
simbólico ou intuitivo (pré-lógico) em que a criança não consegue reverter
mentalmente a ação e ainda não pensa num nível lógico ou operatório (o
termo “operação”, na visão piagetiana, grosso modo signica ação interio-
rizada), fundamental às operações matemáticas mais elementares.
Conforme nota Lima (1999, p. 238-239), a noção de conserva-
ção das transformações físicas é a primeira evidência da noção de “rever-
sibilidade” (a toda ação ou operação existe o seu inverso), noção esta que
“faz do pensamento instrumento de ação (virtual) imensamente superior
à operação motora” e requisito básico para as operações elementares da
lógica e da matemática, incluindo o conceito de número. É somente por
volta dos sete anos, com a aquisição da reversibilidade, a qual parece es-
114
tar associada à síntese das noções de inclusão (classe) e ordem (seriação)
que possibilita a noção de número, é que a criança atinge o estágio de
pensamento lógico, baseado em ações mentais reversíveis, chamado de es-
tágio operacional-concreto (LIMA, 1999). Piaget e Szeminska (1981, p.
12, apud NOGUEIRA, 2006, p. 140) concluíram que esses resultados
suportam a ideia de que o conceito de número na criança se origina de um
longo processo entre os dois e sete anos de idade, que culmina na “síntese
operatória da classicação e seriação”, por volta dos seis a sete anos.
[...] o número se organiza, por etapas, em solidariedade estreita com
a elaboração gradual dos sistemas de inclusões (hierarquia das classes
lógicas), com as relações assimétricas (seriações qualitativas) e com a
sucessão dos números, constituindo- se, assim, em síntese operatória
da classicação e seriação.
Podemos, pois, concluir que o conceito de número em Piaget é
essencialmente baseado no logicismo, isto é, denido nos termos pura-
mente lógicos de classe e relações assimétricas (seriação). Desse modo, para
Piaget, as crianças nasceriam sem qualquer ideia pré-concebida de objeto e
muito menos de número, o qual seria construído após um longo percurso
das interações sensório-motoras com o ambiente, num período pré-lógico
e pré-numérico do desenvolvimento entre os dois e sete anos (estágio pré-
-operatório) e se consubstanciaria a partir da síntese de dois conceitos pré-
-lógicos e pré-numéricos, a classicação e a seriação, respectivamente, por
volta dos sete anos de idade.
Piaget também considerou que sua hipótese de que “o número
é classe e relação assimétrica ao mesmo tempo” é uma visão alternativa
mais completa do que a do logicismo tradicional, o qual procura “con-
duzir o número cardinal à noção de classe de classes e o número ordinal,
dissociado do primeiro, à de classe de relações” (PIAGET, 1981, p. 13).
Ao mesmo tempo, Piaget também considera que seu conceito de número,
por não derivar de nenhuma operação lógica particular e sim somente da
sua reunião, este conceito também concilia a continuidade da lógica com
a irredutibilidade do intuicionismo (isto é, que o número não pode ser
reduzido a operações lógicas inferiores a ele) de modo que “leva a conceber
como recíprocas e não mais como unilaterais as relações entre a lógica e
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
115
a aritmética” (PIAGET, 1981, p. 13, apud NOGUEIRA, 2006, p. 141).
Nogueira (2006, p. 141) propõe que, embora seu conceito de número
tenha por fonte a lógica, as reexões de Piaget sobre uma conciliação entre
o logicismo e o intuicionismo sugerem que seu objetivo fundamental era
propor “um tertium entre as denições de número propostas por duas das
principais correntes do pensamento matemático: o logicismo de Russel e
o intuicionismo de Poincaré”. O termo latino tertium signica “terceiro”
e Piaget o usava para se referir a uma terceira explicação que ao mesmo
tempo que nega, incorpora e sintetiza as outras duas teorias conitantes,
superando-as. Conforme nota Nogueira (2006), Piaget já havia proposto
que sua teoria psicogenética (origem do pensamento) seria um tertium ide-
al entre o apriorismo kantiano e o empirismo de John Locke, bem como
entre o lamarckismo e o neodarwinismo.
A LINGUAGEM E O NÚMERO E O ENSINO DA MATEMÁTICA NA VISÃO PIAGETIANA
A partir de suas pesquisas Piaget concluiu que “o desenvolvimen-
to da linguagem não provoca o desenvolvimento paralelo das operações
mentais, ao passo que o contrário ocorre” (PIAGET, apud LIMA, 1999, p.
100), de modo que a linguagem é uma consequência, uma superestrutura
da inteligência sensório-motora (LIMA, 1999). De fato, Piaget e Szeminska
(1981) argumentam que seus resultados revelam que a numeração falada,
isto é, a contagem tem muito pouco a ver com a aquisição da correspon-
dência termo-a-termo em termos de causação dessa correspondência.
Em um de seus experimentos, Piaget e Szeminska (1981) pediram
às crianças para separarem um número de objetos a partir da correspon-
dência termo-a-termo com outro grupo de objetos como, por exemplo,
separar um bombom para cada moeda de uma coleção, de modo que para
um arranjo de quatro bombons deveriam pegar quatro moedas. Depois
de realizada a correspondência, as moedas eram escondidas e as crianças
solicitadas a dizer sua quantidade, isto é, a demonstrar a compreensão da
propriedade de cardinalidade designada pela última palavra-número da
contagem. Conforme os autores, as crianças até mais ou menos seis anos
não conseguiam responder corretamente ou, quando conseguiam, muda-
vam de ideia após um tempo (ou, talvez após contra-argumentações do ex-
116
perimentador, uma vez que o método clínico piagetiano é baseado no livre
diálogo entre sujeito experimental e experimentador). Eles notaram que
embora a atenção à contagem faz com que as crianças cheguem à ideia de
que a correspondência é durável, quando elas tentam abstrair a totalidade
cardinal elas falham (PIAGET; SZEMINSKA, 1981, p. 97).
Assim, Piaget e Szeminska entenderam que o aprendizado da
contagem inui muito pouco no resultado da correspondência termo-a-
-termo e concluíram que:
[...] não é exagero dizer que este fator verbal não desempenha qualquer
papel no próprio progresso da correspondência e da equivalência [...].
Sem dúvida, no momento em que a correspondência se torna quanti-
cante e dá assim nascimento a começos de equivalência, a numeração
falada pode acelerar o processo de evolução (PIAGET; SZEMINSKA,
1981, p. 97).
A inuência das ideias piagetianas se fez sentir fortemente no
âmbito da matemática escolar, produzindo modicações importantes no
modo de se ensiná-la, dando origem, por exemplo, ao movimento que cou
conhecido como “Matemática Moderna” ou “Movimento Renovador”, na
década de 1970 (BURGO, 2007). Veremos que a tendência geral passou a
ser de renúncia à contagem e aos algoritmos, considerados partes de uma
pedagogia errônea baseada na linguagem, um “verbalismo” que reete o
método da autoridade oral (LIMA, 1999, p. 100), passando a ênfase a recair
sobre o ensino baseado na atividade exploratória do mundo dos objetos
e suas relações lógico-matemáticas de classe e série para a construção do
conceito de número.
Como implicação, as orientações pedagógicas para as séries in-
feriores incluem objetivos puramente lógicos, tendo-se sempre em vista
o grau de desenvolvimento mental do aluno (de acordo com os estágios
piagetianos) e os interesses para os quais têm maior inclinação. O ensino
deve se basear no envolvimento ativo do aluno em atividades em que ele
tem o papel de descobridor e não de receptor passivo do conhecimento,
renunciando-se completamente à prática da memorização sem raciocínio,
ao enunciado abusivo de denições e regras e ao estudo sistemático de
demonstrações já feitas (BICUDO, 1942, p. 156, apud BURGO, 2007,
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
117
p. 52). A Matemática Moderna, por sua vez, apregoava que o ensino da
matemática tinha malogrado nas escolas porque oferecia uma matemática
antiquada, de linguagem imprecisa e ultrapassada, propondo um ensino
revolucionário em que as crianças aprendem de uma forma muito mais
lógica, através de descobertas a partir de suas próprias ações, aproximando-
-as, assim, da matemática dos cientistas. A Matemática Moderna seria um
método que ensina a pensar, enfatizando o aprendizado puramente por
meio da lógica e sem a realização de cálculos desnecessários, sem assustar
(BURGO, 2007, p. 57).
Lauro de Oliveira Lima, considerado um dos primeiros divul-
gadores das ideias de Piaget no Brasil, criou o “Método Psicogenético”
(LIMA, 1975), estruturado a partir da teoria de Piaget e baseado em ati-
vidades planejadas e na dinâmica de grupo (pois a discussão entre todos
é a didática fundamental), envolvendo jogos, pesquisas, leituras, passeios,
etc. (LIMA, 1975). Conforme Lima (1975, p. 31) a dinâmica de grupo é
a didática básica em que o princípio fundamental é que “o professor não
ensina; ajuda o aluno a aprender”. Lima (1999, p. 108), de fato, enfatiza
que “a professora deve convencer-se de que não deve dar aula, deixando a
atividade (altamente dirigida e nada espontânea, como recomenda Piaget)
por conta da criança (resolver situações-problema propostas)”.
Especicamente com relação ao ensino da matemática, Lima
(1999) argumenta que uma vez que as estruturas ou esquemas lógico-mate-
máticos são, para Piaget, as estruturas fundamentais da conduta e do pensa-
mento humano, ou seja, da inteligência, “a grande revolução pedagógica vai
ser uma reversão da linguagem para a Matemática” (LIMA, 1999, p. 102),
de modo que a própria linguagem deveria ser estimulada pela “exercitação
de processos lógicos” (LIMA, 1999, p. 101). Nessa perspectiva, o ensino da
matemática deve se iniciar pela atividade procedural (desenvolvimento de
ações e relações entre os objetos), pois a abstração matemática se desenvolve a
partir da experiência física (atributos e qualidade dos objetos) e da experiên-
cia lógico-matemática (desenvolvimento de estratégias de manipulação dos
objetos) (LIMA, 1999, p. 100-101). Conforme Lima (1999), “a linguagem
só ganha importância (e, agora, importância fundamental) quando alcança o
nível das proposições e se iniciam as combinações lógicas”, isto é, no período
das operações abstratas (operacional-formal), de 11 a 15 anos (p. 66). Assim,
118
iniciação matemática não signica ensinar cálculo (contar, somar, dividir
etc.), mas sim construir, por meio da ação e construção das relações entre os
objetos, as estruturas de classicação, seriação, partição, correspondências,
redes, grupos etc.
De acordo com Burgo (2007, p. 59-60), o método psicogenético
de Lauro de Oliveira Lima (exposto em mais de 20 obras), foi o grande res-
ponsável por divulgar as ideias de Piaget no Brasil e contém o que é conhe-
cido como “Os Dez Mandamentos da Escola Piagetiana”, dentre eles, não
ensinar (mas sim provocar a atividade da criança), não trabalhar na base da
linguagem nem da memorização, aceitar sempre as respostas das crianças,
mesmo que erradas, pois elas correspondem ao seu nível mental etc.
Constance Kazuko Kamii, uma psicóloga nipo-americana nas-
cida na Suíça e discípula de Piaget, é a escritora piagetiana de maior in-
uência no ensino da matemática na educação infantil e séries iniciais do
Ensino Fundamental no Brasil e em toda a América Latina. De acordo
com Nogueira, Belini e Burgo (2007) a obra de Kamii convence os pro-
fessores de que não é possível ensinar número às crianças. A construção do
pensamento matemático não pode ser transmitida à criança, pois é produ-
to da atividade do sujeito e deve se basear em jogos em grupo e situações
do cotidiano (KAMII, 1995; KAMII; DECLARK, 1986). A principal crí-
tica de Kamii ao ensino tradicional, nos mesmos moldes de Lima (1999),
contra o “verbalismo” dos algoritmos das contas de somar, dividir e multi-
plicar, é o uso dos algoritmos cujo efeito nocivo ela arma ser o de embotar
a capacidade de pensar e os quais devem ser substituídos por atividades
interindividuais como os jogos.
Com relação às diculdades de aprendizagem na matemática,
Piaget e os defensores da teoria piagetiana são enfáticos em atribuí-las to-
das às abordagens de ensino que privilegiam os aspectos linguísticos como
a contagem e os algoritmos. Segundo Lima (1999),
o fracasso universal (em todos os tempos) na aprendizagem da
Matemática mostra um equívoco intrínseco no processo educativo, pois,
sem o domínio das estruturas lógico-matemáticas, a apreensão da reali-
dade é fantasmagórica, fato mascarado pelo uso da linguagem. (p. 102)
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
119
Como vimos, o próprio Piaget fazia frequentes advertências que o
ensino eminentemente linguístico e verbalista e com uso prematuro do forma-
lismo, representavam fortes chances de fracasso (LIMA, 1999), o que é assu-
mido de uma forma geral por todos os autores piagetianos (BURGO, 2007).
O PENSAMENTO E A LINGUAGEM EM VYGOTSKY
Em Piaget a linguagem é separada do pensamento, apenas
uma ferramenta do pensamento no mesmo sentido proposto por Santo
Agostinho (AGOSTINHO, 1999) no século IV (d.C.) e pelo lósofo em-
pirista inglês John Locke no século XVII, que acreditavam que as palavras
eram simples ferramentas do pensamento apenas como representação sim-
bólica e não formadora dos conceitos. Descartes também argumentou nes-
sa direção ao armar que a razão estaria fundamentada não na linguagem,
mas sim em nossa capacidade inata dos princípios geométricos Euclidianos
(DESCARTES, 1986). Essa separação entre pensamento e linguagem é
uma visão compartilhada por muitos lósofos e psicólogos contemporâ-
neos (FODOR, 1983; PINKER, 1994; BLOOM, 2000) que sustentam
que a linguagem que falamos não afeta a forma como pensamos, com base
na evidência de que é plenamente possível a existência de pensamentos
abstratos, ricos e complexos, mesmo em lesões cerebrais que causam afasias
(décits na comunicação verbal), ou cérebros privados de estímulos lin-
guísticos e, portanto, sem a linguagem natural. Em contrapartida, o lóso-
fo e linguista alemão Wilhelm von Humboldt, defendia que a linguagem
não é somente uma ferramenta de representação ou comunicação de ideias
que existem independentemente dela, mas sim um “órgão constitutivo
do pensamento”, essencial para a produção de novos conceitos, os quais
não existiriam sem ela, de tal modo que diferentes línguas não signicam
somente diferentes “sons e sinais” mas também “diferenças na represen-
tação do mundo” (STANFORD, 2007). Esse determinismo linguístico
no pensamento humano inuenciou toda uma geração de linguistas que
defendem a ideia de que o pensamento não existiria sem a linguagem,
(WHORF, 1956; SAPIR, 1921).
Para Vygotsky, as palavras inuenciam até a percepção, a forma
como vemos as coisas. As palavras permitiriam à criança focar melhor a
120
atenção nos objetos e eventos e, portanto, a formar percepções mais ecien-
tes. Dessa forma, as crianças começam a perceber, a construir relações entre
os objetos e eventos e, nalmente, a representar o mundo através da fala.
Ele observa, por exemplo, que entre os dois e três anos de idade ocorre uma
súbita curiosidade pelas palavras e seu valor simbólico: a criança começa a
fazer perguntas sobre tudo que é novo, “a fala começa a servir o intelecto
e os pensamentos começam a ser falados” (VYGOTSKY, 1986, p. 82),
resultando em uma explosão de vocabulário. Através das palavras a atenção
involuntária passa a ser voluntária e inteligente e a memória puramente
mecânica transforma-se em memória lógica, isto é, a criança começa a
perceber o mundo e adquirir memória através das palavras (VYGOTSKY,
1986, p. 166). Entre os três e sete anos, a fala egocêntrica (que para Piaget
simplesmente reete as percepções e conceitos ainda incompletas e imper-
feitas) é um marco do processo de desenvolvimento linguístico e cognitivo,
no qual os pensamentos verbalizados vão, aos poucos, se tornando fala
interna e “pensamento verbal” (VYGOTSKY, 1986, p. 87-88) de modo
que pensamento e fala se tornam uma só coisa: a unidade ou célula de
pensamento verbal, a qual não pode ser analisada (VYGOTSKY, 1986, p.
211-212). Para Vygotsky (1986, p. 212) não há pensamento sem fala e o
signicado, portanto, “é um critério da palavra” e “pode ser considerado
como um fenômeno da fala”.
Na visão de Vygotksy (1986) “as formas superiores, especica-
mente humanas de comunicação psicológica são possíveis porque a reexão
do homem sobre a realidade é realizada em conceitos generalizados” (p. 8),
de modo que “todos os conceitos são generalizações” (p. 107), generaliza-
ções estas que só são possíveis por meio das palavras, isto é, da linguagem
uma palavra não se refere a um objeto, mas a um grupo ou a uma classe
de objetos. Cada palavra já é, portanto, uma generalização. A generali-
zação é um ato verbal de pensamento e reete a realidade de uma forma
bem diferente do que a sensação e a percepção a reete. (VYGOTSKY,
1986, p. 6).
Para Vygotsky, se a formação de conceitos é um ato de generali-
zação, este é realizado através das palavras, uma vez que a própria palavra
constitui-se numa generalização, de modo que:
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
121
nem o desenvolvimento de associações de números, nem o reforça-
mento da atenção, nem a acumulação de imagens e representações,
nem a determinação de tendências – que nenhum destes processos, por
mais avançados que possam ser, pode levar à formação de conceitos.
Os conceitos reais são impossíveis sem palavras e pensar em conceitos
não existe além do pensamento verbal. (VYGOTSKY, 1986, p. 107).
Para nalizar essa sequência de parágrafos exposta de forma pra-
ticamente silogística, conclui-se que a palavra não é somente a unidade de
pensamento verbal (união de pensamento e fala), mas também a união de
generalização e comunicação (VYGOTSKY, 1986, p. 9); em outras pala-
vras “em qualquer idade, um conceito encarnado numa palavra representa
um ato de generalização.” (p. 171).
A partir dessa lógica traçada por Vygotsky (1986), ele armou
que “seria errado [...] considerar pensamento e fala como dois processos
não relacionados ou paralelos ou, então, se cruzando em certos pontos e
inuenciando um ao outro” (p. 211), assumindo que um fato incontes-
tável e de grande importância é que o pensamento é determinado pela
linguagem, isto é, pelas ferramentas linguísticas de pensamento e pela
experiência sociocultural da criança (1986, p. 94). Finalmente, Vygotsky
(1986, p. 94) explicita que suas principais conclusões são que “o estágio
do desenvolvimento da fala interna e do pensamento verbal não é uma
simples continuação do pensamento pré-verbal da criança”, pois “a própria
natureza do desenvolvimento muda do biológico para o sócio-histórico”,
isto é, uma vez que o pensamento verbal “não é uma forma natural, inata
de comportamento”, mas em vez disso “é determinado por um processo
histórico-cultural”, ele apresenta propriedades especícas e leis que não po-
dem ser encontradas nas formas naturais de pensamento e fala. Assim, rei-
vindica que a linguagem, diferentemente de Santo Agostinho, John Locke
e Piaget, é um componente essencial e inextricável do pensamento nos
mesmos moldes do lósofo e linguista alemão Wilhelm von Humboldt.
Voltando à matemática, Vygotksy (1986) propõe uma evolução
das generalizações através da própria evolução do signicado das palavras,
dentro da qual surge o conceito de número. Nós veremos nos parágrafos
seguintes que, para o autor, o conceito de número se desenvolve a partir das
122
primeiras palavras que já encerram generalizações de classe (ou categoria)
dos objetos, como cadeira, mesa, ou camisa, calça, etc. Depois adquirem as
palavras que representam generalizações cada vez mais complexas a partir
das anteriores como mobília, roupa, etc. É nesse processo que a aquisição
das palavras-número vai aos poucos desenvolvendo a noção de número e
de conceitos matemáticos, dos mais simples aos complexos.
O NÚMERO E A MATEMÁTICA EM VYGOTSKY
De acordo com Vygotsky (1986, p. 135 e 149), seus estudos su-
geriam três fases principais no desenvolvimento do pensamento verbal, ao
longo do qual o signicado das palavras evolui e se constrói o conceito de
número.
Na primeira fase da formação dos conceitos, caracterizada pelo que
Vygotsky e Piaget chamaram de “pensamento sincrético” (VYGOTSKY,
1986, p. 17, 54, 111-112, 149 e 199), a palavra é uma generalização do
tipo mais primitivo associada a imagens sincréticas, isto é, a características
perceptivas mais globais que denem categorias de simples objetos (cadei-
ra, mesa, sofá).
Mas à medida que o intelecto da criança se desenvolve vão sur-
gindo palavras referentes a generalizações de nível cada vez mais elevado,
dando origem à segunda fase denominada “pensamento por complexos”
(VYGOTSKY, 1986, p. 112), na qual os objetos encontram-se inter-rela-
cionados no cérebro por meio das primeiras palavras cujas generalizações
englobam outras palavras, tais como “mobília” (a classe que engloba vários
objetos) ou “roupa” (camisa, bermuda etc.) (VYGOTSKY, 1986, p. 112 e
199). Embora nessa fase a criança já tenha superado parcialmente o seu ego-
centrismo e o pensamento já seja coerente e objetivo, as inter-relações nos
complexos são “descobertas através da experiência” e são “mais concretas e
factuais do que abstratas e lógicas”, de modo que ainda não estão hierar-
quicamente organizados e correspondem mais a “pré-conceitos” do que o
que Vygotsky chama de “conceitos verdadeiros” (VYGOTSKY, 1986, p.
116, 198). Assim, a relação entre “or” e “rosa” ainda não é uma relação de
subordinação hierárquica e o conceito mais lato: “or”, pode coexistir no
mesmo plano que o conceito mais restrito: “rosa” (VYGOTSKY, 1986, p.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
123
198). Por isso o autor arma que um complexo “não é formado no plano do
pensamento lógico abstrato”, mas é “acima de tudo e principalmente, um
agrupamento concreto de objetos ligados por nexos factuais” (p. 113) e, por-
tanto, ainda não reete as relações objetivas e hierárquicas que caracterizam
o verdadeiro pensamento conceptual da terceira fase (p. 112 e 149).
Neste ponto torna-se oportuno traçar uma relação entre as di-
ferentes visões do desenvolvimento do pensamento lógico-matemático e
do conceito de número proposto por Piaget e por Vygotsky. A fase do
pensamento por complexos, na teoria de Vygotsky, corresponde às ideias
das crianças em idade pré-escolar, ao nível pré-operatório, de Piaget (en-
tre dois e seis ou sete anos) (VYGOTSKY, 1986, p. 202). O pensamento
pré-operatório, de Piaget e Szeminska (1981, p. 12, apud NOGUEIRA,
2006, p. 140) representa o período pré-lógico em que a criança elabora
gradualmente as relações de inclusão entre os objetos, formando hierarquia
(das classes lógicas), bem como as relações assimétricas ou de ordem (se-
riação). Da mesma forma, os “complexos” de Vygotsky (1986) são relações
de generalização entre as palavras que ainda “carecem de unidade lógica”
(p. 113), mas cuja principal função “consiste em estabelecer ligações e re-
lações” e dar “início à unicação das impressões dispersas; ao organizar
elementos discretos da experiência em grupos cria uma base para futuras
generalizações” (p. 135).
Na terceira fase da evolução do pensamento verbal, segundo
Vygotsky, surgem os conceitos verdadeiros, ou pensamento conceitual, os
quais são hierarquicamente organizados numa generalização que vai além
da organização de elementos discretos da experiência e da unicação que
caracteriza os complexos. O conceito verdadeiro implica necessariamente
“abstrair, isolar elementos e ver os elementos abstraídos da totalidade da
experiência concreta em que se encontram mergulhados”, isto é, no pen-
samento conceitual “é tão importante unicar como separar: a síntese tem
que combinar-se com a análise” (VYGOTSKY, 1986, p. 135).
Em suma, a armação de Vygotsky (1986, p. 139) de que “os
complexos associativos pressupõem a existência de que se “abstrai” um
traço comum de diferentes unidades”, explicita inequivocamente que a
generalização verbal dá origem ao conceito de classes. Portanto, a diferença
fundamental entre ele e Piaget é que enquanto os processos pré-lógicos
124
que, segundo este último, são baseados em esquemas sensório-motores re-
presentados em ações físicas e imagens mentais sobre o mundo dos objetos,
para Vygotsky esses processos são baseados na linguagem, nos diferentes ní-
veis de generalização e organização dos signicados das palavras. Vygotsky
(1986, p. 202) arma textualmente que “as ideias das crianças em idade
pré-escolar (que possuem a estrutura de complexos)” resultam “não do
agrupamento de imagens dos objetos individuais, mas sim da elaboração
de generalizações predominantes durante uma fase anterior”, entendendo-
-se generalização aqui como um processo baseado nas palavras.
Na mesma linha de raciocínio, também depreendemos que en-
quanto para Piaget e Szeminska, (1981, p. 12, apud NOGUEIRA, 2006,
p. 140-141) o conceito de número é produto da síntese da classicação e
seriação dos objetos, Vygotsky (1986) reivindica que os conceitos genuínos
surgem da abstração do pensamento por complexos, “quando os traços abs-
traídos são novamente sintetizados e a abstração sintetizada daí resultante se
torna o principal instrumento de pensamento” (p. 139); isto é, o conceito
de número origina-se quando “certos aspectos dos objetos foram abstraí-
dos e generalizados em ideias de números” (p. 202). Vale enfatizar que em
Vygotsky (1986), a generalização é dada através da palavra, de modo que a
palavra desempenha o papel decisivo neste processo, sendo “utilizada deli-
beradamente para orientar todos os processos parciais do estádio superior da
gênese dos conceitos” (p. 139), incluindo o de número (p. 202).
O ENSINO DA MATEMÁTICA NA VISÃO DE VYGOTSKY
O pensamento de Vygotsky sobre o ensino da matemática ob-
viamente vai numa direção oposta ao de Piaget quando se trata do papel
da linguagem na aquisição dos conceitos matemáticos. Diferentemente da
visão piagetiana, em que os conceitos em diferentes estágios são sempre
qualitativamente distintos e mutuamente antagônicos, resultando num
processo de desenvolvimento descontínuo, Vygotsky (1986, p. 155-157)
reivindica um processo contínuo e unitário, em que os novos conceitos se
originam da elaboração de generalizações predominantes durante uma fase
anterior (p. 202), de modo que a contagem e outros recursos simbólicos
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
125
são de extrema importância no desenvolvimento do conceito de número e
do ensino da matemática:
O currículo não pode determinar com antecedência o ponto de vira-
gem em que um princípio geral se torna claro para determinada crian-
ça. Não se ensina à criança o sistema decimal em si, ensina-se-lhe a
escrever números, a somar e a multiplicar, a resolver problemas e de
tudo isto acabam por emergir alguns dos conceitos gerais do sistema
decimal. (VYGOTSKY, 1986, p. 185).
Embora Vygotsky (1986) arme que “os novos e mais elevados
conceitos, por seu turno, transformam o signicado dos conceitos inferio-
res” (p. 202) ele também assume, contrapondo-se a Piaget, que “a criança
não é obrigada a reestruturar separadamente todos os seus conceitos ante-
riores, coisa que seria realmente um trabalho de Sisifo.” (p. 203). Assim, a
progressão dos conceitos aritméticos básicos da criança para os conceitos
algébricos dos adolescentes, que representam abstrações e generalizações
de certos aspectos dos números e não dos objetos, realiza-se por meio da
generalização das generalizações do período anterior (VYGOTSKY, 1986,
p. 202). De acordo com Vygotsky (1986, p. 199-200), esse nível de “ge-
neralização de generalizações” caracteriza “os níveis mais altos no desen-
volvimento do signicado das palavras” e são governadas pela “lei de equi-
valência de conceitos, de acordo com a qual qualquer conceito pode ser
formulado”. Vygotsky cita como exemplo puro de equivalência os próprios
“conceitos de números desenvolvidos através dos estudos de aritmética”,
de modo que “qualquer número poderá ser expresso de inúmeras manei-
ras” uma vez que cada número “contém em si as suas relações com todos
os outros”: o número um pode ser expresso como sendo, por exemplo, a
diferença entre dois números consecutivos, ou como um número qualquer
dividido por si próprio e assim por diante (VYGOTSKY, 1986, p. 200).
Concluímos, portanto, que o pensamento conceitual para
Vygotsky é de natureza proposicional, também referida como semântica
ou factual, isto é, mais baseada em descrições ou armações verbais. Ao
distinguir entre conceitos espontâneos dos cientícos, Vygotsky (1986, p.
205) cita que as respostas erradas das crianças, como quando “uma criança
diz de um objeto que se dissolveu na água porque era pequeno, e de outro
que se dissolveu porque era grande”, reete relações de generalidade pouco
126
desenvolvidas, ainda não hierárquicas. Para Vygotsky, a criança na fase pré-
-operatória “limita-se a proferir armações empíricas de fatos que decor-
rem da lógica das percepções” porque no seu cérebro não há qualquer ge-
neralização do tipo “as dimensões reduzidas implicam a dissolução” e, por
isso, ela não sente contradição em suas armações (VYGOTSKY, 1986,
p. 205). Esta generalização de alto nível a que Vygotsky se refere se ajusta
perfeitamente ao conceito de representação ou pensamento proposicional,
no qual os conceitos são baseados em descrições de natureza mais verbal
(GAZZANIGA; HEATHERTON, 2005, p. 25 e 254) e, portanto, mais
consistente com matemática logicista e a lógica proposicional (simbólica)
de Bertrand Russell (brevemente discutida no início deste capítulo).
Veremos que a noção do papel da linguagem na aquisição das ha-
bilidades numéricas e o conceito de número como uma rede de relações de
“equivalência” são noções muito similares às concepções de número e ma-
temática na teoria behaviorista e na ciência da Análise do Comportamento.
A ANÁLISE DO COMPORTAMENTO
A análise do comportamento é uma ciência cuja losoa é o
behaviorismo (ver CARVALHO NETO, 2002). Este surgiu como uma
importante escola psicológica fundada pelo americano John B. Watson
(1878-1958) sob forte inuência do empirismo e também do trabalho do
siologista russo Ivan P. Pavlov (1849-1936). Para Watson, uma psicologia
verdadeiramente cientíca deveria estudar apenas comportamentos direta-
mente observáveis. O objetivo dessa ciência seria a predição e o controle
do comportamento. Com base na teoria da evolução, ele admitia a con-
tinuidade logenética entre outras espécies animais e o homem, sendo o
comportamento humano, portanto, apenas parte do escopo de sua ciência.
No que diz respeito à relação mente-corpo, não há interação entre eles, de
modo que não há necessidade de explicá-la. O comportamento é determi-
nado por estímulos antecedentes do ambiente, aí devendo ser buscadas as
suas causas.
Outro behaviorista de grande destaque mundial no cenário da
psicologia e sucessor de Watson foi Burrhus F. Skinner (1904-1990). É
comum que parte signicativa da literatura psicológica apresente Watson e
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
127
Skinner como se não houvesse diferenças fundamentais no pensamento de
cada um. Na verdade, porém, trata-se de duas versões bastante diferentes
do behaviorismo. Não é propósito do presente texto discuti-las exausti-
vamente, mas duas delas devem ser apontadas aqui. Matos (1997) arma
que Watson não negava a mente, mas se recusava a estudar comporta-
mentos encobertos (pensamentos, sentimentos etc.), ao passo que Skinner
negava denitivamente a existência de uma mente imaterial causadora
do comportamento, tal como propunha Descartes, mas colocava como
parte importante da psicologia o estudo dos comportamentos encobertos,
aos quais não atribuía nenhuma natureza especial, sendo eles tão naturais
como qualquer comportamento publicamente observável.
O modelo de Watson é o famigerado S-R (estímulo-resposta),
isto é, o ambiente determina o comportamento sendo esta uma relação
linear e unidirecional, ao passo que para Skinner, a ação do sujeito opera
sobre o ambiente, modicando-o de várias formas. Tais modicações são
consequências da ação do sujeito, as quais, por sua vez, retroagem sobre ele
alterando a probabilidade de novas ocorrências futuras do comportamento
que as produziu. Nas palavras do próprio Skinner (1978, p. 15), “os ho-
mens agem sobre o mundo, modicam-no e, por sua vez, são modicados
pelas consequências de sua ação”. Em termos educacionais, uma implica-
ção importante é apontada por De Rose (2010, p. 10) a pesquisa sobre o
comportamento deve concentrar-se na investigação das “relações entre o
comportamento dos alunos, as condições antecedentes e as consequências
comportamentais”.
A FORMAÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS
De acordo com a denição skinneriana, o comportamento verbal
é um tipo especial de operante “em que as consequências são mediadas
pelo comportamento de outro(s) indivíduo(s)” (DE ROSE, 2010, p. 7).
Skinner (1972, apud TEIXEIRA, 2010) reivindicou que desde o início
as aquisições aritméticas são determinadas pelo comportamento verbal,
quando a criança “fala e escreve certas palavras, algarismos e sinais que re-
metem a números e operações aritméticas”, bem como quando “conta, diz
a tabuada, conta enquanto assinala os elementos de um conjunto de obje-
128
tos, responde a números ditos ou escritos” etc. “Tudo isso, para Skinner,
constitui comportamento verbal” (TEIXEIRA, 2010, p. 161).
Essas colocações parecem sugerir que, para alguns autores, o
comportamento matemático se inicia e se desenvolve a partir da lingua-
gem, devendo ser avaliado por meio dela e nela devendo ser buscadas as
raízes de suas diculdades (TEIXEIRA, 2010, p. 173). Entretanto, uma
análise mais detalhada da concepção de formação de conceitos e, parti-
cularmente, do conceito de número, sugere uma noção mais ampla, que
nos permite concluir que, além do comportamento verbal, a discriminação
sensório-perceptiva de quantidades desempenha um papel fundamental
no comportamento numérico. De Rose (2010, p. 7), por exemplo, dene
o comportamento matemático como um tipo especialmente complexo de
comportamento verbal sob controle discriminativo de aspectos quantitati-
vos e numéricos do ambiente. De fato, de acordo com Keller e Schoenfeld
(1974), a aprendizagem de conceitos depende de dois processos distintos,
porém, complementares: discriminação interclasses e generalização intra-
classe. A discriminação estabelece a diferença entre estímulos de classes dis-
tintas, ao passo que a generalização permite o agrupamento de estímulos
de uma mesma classe por propriedades que têm em comum. Drachenberg
(2010) aplica essa mesma denição à aprendizagem de conceitos de quan-
tidades (ver também MAGALHÃES; GALVÃO, 2010, p. 96).
Nessa perspectiva, o comportamento matemático faz parte de
um tipo de comportamento verbal dos mais importantes, isto é, aquele
controlado “discriminativamente por objetos, eventos ou propriedades do
ambiente”, de modo que as palavras e sentenças, sob controle desses aspec-
tos do ambiente podem ser tomadas como descrições simbólicas deles (DE
ROSE, 2010, p. 7). A Análise do Comportamento tem avançado signi-
cativamente, desde o início da década de 1970, no estudo do comporta-
mento simbólico, em grande parte graças à adoção, entre vários recursos
teórico-metodológicos, do chamado paradigma de equivalência. Este evo-
luiu a partir de um inuente relato de pesquisa apresentado por Sidman
(1971), resumido a seguir.
Sidman (1971) estudou um rapaz com microcefalia e um seve-
ro atraso de desenvolvimento e de linguagem. Usando um conjunto de
20 palavras faladas correspondentes a objetos, suas respectivas guras e
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
129
palavras impressas, Sidman vericou que o rapaz sabia nomear algumas
guras e selecioná-las a partir de seus nomes falados pelo experimenta-
dor. Por meio de um procedimento de escolha de acordo com o modelo
(MTS) e reforçamento de escolhas corretas, o rapaz foi ensinado a sele-
cionar palavras escritas quando seus nomes eram ditados. Posteriormente,
Sidman vericou que, além de aprender as relações palavra oral - palavra
escrita diretamente ensinadas, o rapaz “generalizou” esse aprendizado e foi
capaz de selecionar palavras escritas correspondentes às suas respectivas -
guras, de selecionar guras correspondentes a palavras escritas e de ler as
palavras em voz alta (SIDMAN, 1971). Ou seja, a emergência de relações
não ensinadas diretamente, implica um tipo de “comportamento novo”
(isto é, que emerge sem nunca ter sido reforçado diretamente) e representa
uma importante implicação para noção de “cognição” (PRADO, 2010, p.
275). Essa publicação de Sidman (1971) foi de importância ímpar para a
Análise do Comportamento, alterando e ampliando o seu escopo teórico-
-metodológico e sua visão sobre o comportamento humano, pois abriu
a possibilidade de desenvolvimento de uma análise comportamental da
cognição (DE ROSE, 1993). Ademais, a pesquisa sobre a equivalência de
estímulos foi sumamente importante ao lançar luzes sobre as questões do
papel da linguagem na aquisição do conhecimento e do comportamento
matemático, isto é, no debate “sobre se nossa capacidade para formar clas-
ses de equivalência é um processo comportamental básico que possibilita
o desenvolvimento da linguagem” ou “se, ao contrário, a linguagem é que
torna possíveis as relações de equivalência” (PRADO, 2010, p. 275).
O PARADIGMA DE EQUIVALÊNCIA E O CONCEITO DE NÚMERO
Na seção anterior enfatizamos que o papel do controle discrimi-
nativo no comportamento verbal implica, necessariamente, em mecanis-
mos sensório-perceptivos auditivos e visuais. O comportamento numérico
ou matemático constitui-se, pois, de respostas verbais como, “dois”, “três”,
“muitos”, “poucos”, “mais”, “menos”, “metade”, “o dobro” etc., sob contro-
le de propriedades quantitativas ou numéricas de estímulos do ambiente.
Em contrapartida, a palavra (linguagem) substitui propriedades quantita-
tivas contínuas (volume, massa, comprimento etc.) ou discretas (números)
de estímulos ou eventos, permitindo ao falante colocar o ouvinte em con-
130
tato com propriedades do ambiente, às quais ele pode não ter acesso num
determinado momento (DE ROSE, 2010).
Nessa perspectiva, podemos dizer que “a compreensão numérica
implica que nomes de números falados, numerais impressos e quantida-
des correspondentes de itens sejam tratados como equivalentes” (GREEN,
2010, p. 49), isto é, estímulos que se tornam substituíveis uns pelos outros
por meio do estabelecimento de relações arbitrárias que formam “classes de
estímulos equivalentes” (ROSSIT; GUALBERTO, 2010, p. 176; PRADO,
2010, p. 274). Uma vez que o comportamento numérico envolve relações
arbitrárias de equivalência entre conceitos verbais e quantidades, e este
termo refere-se a propriedades sensório-perceptivas de coleções de objetos,
ca claro que a aquisição do conceito de número não depende somente
da linguagem, mas também das capacidades sensório-perceptivas do in-
divíduo para discriminar coleções de objetos com base somente nos seus
atributos numéricos, independente de sua nomeação ou rótulos verbais.
É nesse sentido que, em minha opinião, assim como na de outros
autores, como Prado (2010), a Análise do Comportamento pode contri-
buir signicativamente para esclarecer o papel da linguagem na formação
do conceito de número, isto é, se o conceito de número é, de fato, de-
terminado pela linguagem ou, ao contrário, depende fundamentalmente
de capacidades não verbais como a discriminação sensório-perceptiva dos
atributos numéricos (coleções) dos objetos.
Em 1993, Green publicou um trabalho (GREEN, 2010, p. 49)
relatando uma pesquisa em que investigou a questão matemática-lingua-
gem usando o procedimento MTS. Embora Green (2010, p. 49) assumis-
se que a compreensão numérica implica na equivalência entre nomes de
números falados, numerais impressos e quantidades correspondentes de
itens, ela investigou especicamente se a contagem realmente exercia um
papel determinante na compreensão numérica. Seu estudo contou com a
participação de dois jovens. Um de 15 anos, classicado como autista e
com severos prejuízos linguísticos e outro de 13 anos, cuja idade mental
foi estimada em três anos e um mês, apresentando prejuízos na compreen-
são e produção da linguagem. Ao serem pré-testados em todas as relações
condicionais do experimento, Green observou que somente as relações
entre nomes de números ditados (estímulos modelos) e os numerais im-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
131
pressos de 1 a 6 (estímulos de comparação) apresentavam-se no repertório
de ambos os alunos, embora Mike conseguisse emparelhar (relacionar) as
quantidades um, dois e três a seus nomes ditados e numerais impressos.
Então, os sujeitos foram treinados nas relações ditado-numeral e número
ditado-conjunto, com os numerais e quantidades (conjuntos formados por
pequenos círculos pretos sólidos arranjados em três padrões espaciais dife-
rentes) de 1 a 6. Ao nal do pós-teste os sujeitos apresentaram repertórios
emergentes e generalizaram o treino para relações como oralizar os núme-
ros na presença tanto dos respectivos numerais quanto dos conjuntos, bem
como relacionar numerais a conjuntos e vice-versa mesmo quando usadas
guras diferentes das treinadas, tais como moedas, casas e cavalos. Green
concluiu que uma vez que somente as relações entre nomes de números
ditados e numerais impressos de 1 a 6 estavam no repertório desses jovens
no pré-teste, “a contagem não pareceu ser necessária para a aprendizagem
das equivalências número/quantidade.” (p. 63).
Empregando procedimentos semelhantes ao de Green (2010),
Prado (2001) investigou a formação de relações de equivalência em crian-
ças pré-escolares usando como estímulos numerais ditados e impressos e
conjuntos numéricos (coleções de guras) que variavam em disposição
espacial, tamanho, forma e quantidade. Em contraste com o estudo de
Green, cujos participantes não contavam, os pré-escolares de Prado (2001)
já eram hábeis contadores desde seu ingresso na pesquisa, mas não se sa-
íam tão bem com os numerais. Após ensinadas a nomear e a ordenar os
numerais do menor para o maior, essas crianças exibiram relações entre
numerais e conjuntos (entre outros desempenhos) durantes os testes, mas
não usaram a contagem em nenhuma dessas tarefas. Esses dados são con-
sistentes com os achados de Green, bem como com a conclusão de que
a contagem não parece imprescindível para a formação de equivalência
numeral-quantidade.
Mix (1999, ver também PRADO et al., 2006), conduziu um es-
tudo com 88 crianças de dois anos e meio a quatro anos e meio de idade, no
qual administrou uma tarefa de equiparação de conjuntos (usando o pro-
cedimento MTS) e duas tarefas de contagem. Na primeira, os elementos
eram dispostos linearmente, controlando-se o comprimento e a densidade
das leiras. Também foi manipulada a dimensão perceptivo-categorial dos
132
elementos, de modo que fosse possível observar sua inuência sobre as
respostas: em alguns casos, os elementos dos conjuntos modelo e de com-
paração eram os mesmos, em outros eram diferentes e, em outros ainda,
os elementos diferiam entre si dentro dos conjuntos. Quanto às tarefas de
contagem, em uma a criança respondia à pergunta “quantos são?” dado um
conjunto de 10 itens dispostos linearmente. Em outra, denominada “dê
um número”, a criança deveria separar, de um conjunto de 15 itens, uma
quantidade de itens especicados pelo examinador. Resumidamente, Mix
encontrou que a partir dos três anos e meio as crianças desempenharam
signicativamente acima do acaso na tarefa de equiparação de conjuntos,
mesmo quando os elementos do conjunto modelo diferiam dos conjuntos
de comparação, sugerindo abstração da dimensão numérica. A partir dos
quatro anos e meio as crianças também desempenharam signicantemente
bem na equiparação de conjuntos, mesmo quando os elementos diferiam
dentro dos conjuntos. Entretanto, vale ressaltar que as crianças mais ve-
lhas tiveram desempenhos superiores tanto nas tarefas de equiparação de
conjuntos quanto nas tarefas de contagem, sendo que ambas as tarefas se
correlacionaram positivamente.
Recentemente, Prado et al. (2006) conduziram um estudo com
17 crianças com idade entre quatro anos e oito meses e seis anos e cinco
meses usando as mesmas tarefas ministradas por Mix (1999), com algumas
diferenças. Na tarefa de equiparação de conjuntos, os elementos do con-
junto modelo sempre foram iguais aos dos conjuntos de comparação, sen-
do sua distribuição espacial aleatória. Outra diferença foi que Prado et al.
(2006) usaram quantidades de 5 a 8 para evitar escolhas por subitização
2
(SPELKE, 2003; HAUSER; SPELKE, 2004; veja ANDRADE, 2006a,
2006b). A habilidade de contagem foi analisada por meio de duas tarefas.
Na de “contagem de conjuntos totais” a criança tinha de contar as guras
e dizer quantas eram (aplicação da regra de cardinalidade). Na tarefa de
“contagem de subconjuntos”, a criança tinha de separar, de um conjunto
de 17 guras, um número de (5 a 8) elementos indicados. Nos próximos
parágrafos apresentaremos algumas observações a respeito da tarefa “conta-
2
O termo subitização tem sido empregado para se referir à apreensão numérica súbita, pré-atencional e
inconsciente, de numerosidades de 1 a 3 ou 4 elementos, sem o emprego da contagem. Essa capacidade tem
sido amplamente demonstrada em adultos e bebês humanos, bem como em animais não humanos.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
133
gem de subconjuntos” utilizada por Prado et al. (2006), em função de sua
importância para a interpretação que faremos de seus resultados.
Separar corretamente subconjuntos de um conjunto maior de
acordo com um número determinado pelo experimentador (contagem de
subconjuntos) é uma medida especíca da habilidade de contagem porque
requer o domínio dos três princípios básicos da contagem: a) a correspon-
dência um-a-um ou biunívoca (cada palavra-número deve corresponder a
somente um objeto da coleção); b) a ordem estável ou sequência invariável
das palavras-número; c) a regra da cardinalidade, em que a última palavra
da contagem determina a quantidade de elementos do conjunto. A tarefa
“contagem de subconjuntos” é necessária numa investigação como essa por-
que a resposta correta à pergunta “quantos têm?”, na tarefa “contagem de
conjuntos totais”, nem sempre indica necessariamente que a criança usou
um procedimento correto de contagem, nem que ela realmente possui o
conceito de cardinalidade. Fuson (1988) mostrou que quando as crianças
novas começam a contar pela primeira vez, o nal da contagem não possui
necessariamente um signicado cardinal, pois pode ser simplesmente uma
imitação da atividade sociocultural da contagem. Ao serem perguntadas so-
bre “quantos há?”, após a sua contagem, muitas delas recontam e continuam
a recontar cada vez que recebem a mesma pergunta; muitas crianças que
respondem à pergunta “quantos há?” simplesmente dão o último número
da contagem como resposta mesmo quando sua contagem é muito incorreta
(repetindo e/ou pulando números) e o último número falado não corres-
ponde à cardinalidade correta. Este comportamento sugere que a criança
simplesmente construiu uma espécie de “regra da última palavra”.
No estudo de Prado et al. (2006), a tarefa principal na medição
das habilidades numéricas é a equiparação de conjuntos, a qual apresenta
um maior grau de complexidade comparada às duas tarefas de contagem,
porque a criança tem de contar os elementos de ambos os conjuntos, mo-
delo e de comparação, na mesma tarefa e guardar os resultados na me-
mória de trabalho verbal para decidir se a quantidade era a mesma ou
não. Consistentemente com os estudos anteriores de Green (2010) e Mix
(1999), algumas crianças do estudo de Prado et al. (2006) não recorre-
ram consistentemente à contagem, mas ainda assim apresentaram escores
elevados de escolha da alternativa correta na equiparação de conjuntos.
134
Adicionalmente, Prado e seus colegas não encontraram correlação signi-
cante entre nenhuma das tarefas de contagem (de conjuntos totais e de
subconjuntos) e a de equiparação de conjuntos. Além disso, esta ausência
de correlação entre as habilidades de contagem e o desempenho na tarefa
de equiparação de conjuntos não pode ser explicada pela idade, uma vez
que não houve correlação entre a idade das crianças nem com a contagem
de subconjuntos, nem tampouco com a equiparação de conjuntos.
Entretanto esses resultados encontrados por Prado et al. (2006)
não signicam que a contagem não tenha importância nas habilidades nu-
méricas, uma vez que a performance na contagem dentro das tarefas de
contagem de conjuntos totais e equiparação de conjuntos (isto é, como
um componente indispensável à sua realização) se correlacionou com o de-
sempenho nessas tarefas. Em outras palavras, Prado et al. (2006) obtiveram
uma correlação muito signicante entre o contar e o dizer quantos na tare-
fa de conjuntos totais, assim como correlações muito signicantes entre as
contagens do conjunto modelo e o de comparação, tanto entre si quanto
de ambas com a escolha do estímulo de comparação correto. Ademais,
observou-se que as crianças que não se utilizaram da contagem na escolha
do conjunto de comparação apresentaram, em geral, escores mais baixos
do que aquelas que contaram.
IMPLICAÇÕES TEÓRICO-EMPÍRICAS DOS ACHADOS COM O PARADIGMA DA
EQUIVALÊNCIA
Indivíduos com sérios prejuízos na linguagem são capazes de ge-
neralizar o treino nas relações ditado-numeral e número ditado-conjunto
com quantidades de 1 a 6, e pronunciar o número correto na presença de
distintos arranjos numéricos de 1 a 6, sem uso dos recursos da contagem
(GREEN, 2010). Crianças ainda em idade pré-escolar e tão novas quanto
três anos de idade já são capazes de discriminar aspectos genuinamente
numéricos do ambiente e identicar, discriminar e fazer relações simbó-
licas com numerosidades até 4 ou 5 elementos, muito anteriormente à
aquisição plena das habilidades de contagem (MIX, 1999; PRADO et al.,
2006). Por outro lado, as operações numéricas envolvendo numerosidades
não subitizáveis, acima de quatro elementos, parecem depender crucial-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
135
mente da contagem (PRADO, 2010; veja ANDRADE 2006a). Os estudos
de Fuson (1988) e Wynn (1990; 1992b) mostraram inequivocamente que
crianças de três a cinco anos já são capazes de contar e aplicar os princípios
básicos da contagem a arranjos numéricos pequenos até quatro elementos.
Essas evidências apontam no sentido oposto à reivindicação de
Vygotksy de que a linguagem é que dá origem aos conceitos, incluindo o
conceito de número, e à de Piaget de que o conceito de número é resultante
de um longo processo de desenvolvimento que culmina com a síntese da
classicação e seriação por volta dos seis ou sete anos de idade. Entretanto, os
estudos analítico-comportamentais aqui reportados convergem parcialmen-
te para a noção piagetiana ao mostrarem que o conceito inicial de número
se baseia primordialmente em processos sensório-perceptivos e, ao mesmo
tempo, suportam, também parcialmente, a visão vygotskyana ao mostrarem
que as habilidades numéricas mais sosticadas dependem de recursos linguís-
ticos, a começar pela contagem e estendendo-se à simbologia matemática.
Portanto, as evidências convergem para a noção de que o compor-
tamento matemático não deve ser visto essencialmente como comporta-
mento verbal, mas sim como um comportamento complexo que depende
tanto de mecanismos sensório-perceptivos não verbais para o processamen-
to dos aspectos numéricos do ambiente, quanto de mecanismos verbais
da contagem. Essa noção que aqui propomos é consistente com a noção
de que o conceito de número é apenas um aspecto da formação de con-
ceitos em geral, que depende de dois processos comportamentais básicos:
a discriminação e a generalização (DRACHENBERG, 2010; KELLER;
SCHOENFELD, 1974; MAGALHÃES; GALVÃO, 2010).
Nesse sentido, a denição de De Rose (2010, p. 7), segundo a
qual o comportamento matemático é um tipo especialmente complexo
de comportamento verbal discriminativamente controlado por aspectos
quantitativos e numéricos do ambiente, se aplica adequadamente somente
a um aspecto do comportamento matemático, qual seja, o seu componente
verbal, de modo que o termo “comportamento matemático” deveria, neste
caso, ser substituído pelo termo “comportamento verbal matemático” a
linguagem matemática que começa nas palavras-número e nos princípios
da contagem. Uma vez que o comportamento matemático a que se refere
De Rose (2010) é controlado por um componente não verbal, mais especi-
136
camente pelos processos sensório-perceptivos subjacentes à discriminação
dos aspectos numéricos do ambiente, esse componente sensório-perceptivo
antecede o comportamento verbal relacionado à matemática e, portanto,
deve ser visto como o ponto de partida fundamental do comportamen-
to matemático. Em outras palavras, para aprendermos a dar as respostas
verbais corretas a arranjos numéricos distintos, como dizer “dois” diante
de um arranjo de dois elementos e “três” diante de um arranjo de três ele-
mentos, antes de tudo precisamos ser capazes de perceber e discriminar os
atributos sensório-perceptivos numéricos desses estímulos; por outro lado,
para dar a resposta verbal correta a arranjos numéricos grandes, além da
percepção numérica necessitamos também da contagem.
As investigações mais recentes da psicologia cognitiva e da neu-
ropsicologia e neurociência cognitiva são altamente consistentes com os
achados empíricos da análise do comportamento aqui reportados. Hoje
há um crescente consenso de que as representações numéricas nos adul-
tos e o pensamento matemático culturalmente construído dependem da
interação entre um senso inato de magnitudes numéricas, chamado de
“senso numérico” (DEHAENE, 1997), presente em bebês desde tenra ida-
de (DEHAENE, DEHAENE-LAMBERTZ, COHEN, 1998; para uma
revisão em português veja ANDRADE, 2006a, 2006b), com a linguagem
(WYNN, 1992a; CAREY, 2004; GELMAN; BUTTERWORTH, 2005;
SPELKE, 2003; ANDRADE, 2006a). O senso numérico hoje é visto como
constituído de dois mecanismos não verbais de percepção genuinamente
numérica, um sistema exato para numerosidades pequenas ou subitizáveis,
até quatro elementos e um sistema aproximado para numerosidades maio-
res (CAREY, 2004; FEIGENSON, DEHAENE; SPELKE, 2004).
É sobre essas concepções baseadas nas mais recentes e modernas
investigações empíricas sobre a natureza dos sistemas cognitivos subjacen-
tes ao comportamento numérico, as quais são prevalentes na atual psicolo-
gia experimental, que vamos nos debruçar nas próximas sessões.
PARADIGMAS TEÓRICO-EMPÍRICOS DA PSICOLOGIA E NEUROCIÊNCIA COGNITIVAS
Conforme exposto em citação anterior, Piaget comparou o pri-
meiro ano de vida a um abismo de mistérios, sendo a observação do com-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
137
portamento do bebê o meio para a descoberta do que se passa em sua men-
te. A moderna psicologia experimental vem, pois, trabalhando há décadas
para descobrir, pelo menos em parte, o que acontece na mente dos bebês
através do estudo detalhado e controlado de seu comportamento.
Desde meados da década de 60 sabe-se da existência do “reexo
de orientação” (FANTZ, 1964): a resposta de olhar preferencialmente para
estímulos novos do que para estímulos familiares, observada em bebês hu-
manos e, portanto, considerada inata. O olhar preferencial é o que funda-
menta o procedimento de habituação-desabituação. Inicialmente, mostra-se
um determinado estímulo (como uma foto, boneco etc.) repetidas vezes ao
bebê, até que ele que literalmente entediado, o que será indicado por uma
sensível diminuição de seu tempo de olhar. Quando isso ocorre, diz-se que
houve “habituação”. Um novo estímulo é então apresentado, no qual há
diferenças em relação o anterior, tais como forma, cor, quantidade etc. Se o
bebê olhar mais tempo para o estímulo novo, signica que houve “desabi-
tuação”, ou seja, ele discriminou as diferenças. A manipulação de atributos
ou dimensões diversas de estímulo possibilita avaliar se o bebê é ou não
capaz de discriminá-los. Graças ao método de habituação e outras novas
técnicas de investigação, as três últimas décadas têm presenciado evidên-
cias notáveis de capacidades muito precoces até mesmo em neonatos. Hoje
sabemos que os bebês possuem uma percepção muito precoce de numero-
sidade (WYNN, 1992a; HAUSER; SPELKE, 2004), do comportamento
dos objetos no espaço e do próprio espaço (SPELKE, 2003), bem como
dos sons linguísticos (KUHL, 2004) e de padrões musicais (ANDRADE,
2004) (para uma revisão veja ANDRADE; PRADO, 2003; ANDRADE
2006a, 2006b; PRADO, 2010).
O ESTUDO CLÁSSICO DE KAREN WYNN: A ARITMÉTICA DOS BEBÊS
Em 1992, Karen Wynn publicou o relato de um dos mais impor-
tantes experimentos sobre a numerosidade em bebês. Ela usou o procedi-
mento de habituação, com modicações, em que bebês de cinco meses de
idade viam um ou dois bonecos expostos num palco de fantoches. (WYNN,
1992a). Depois, um anteparo se levantava cobrindo parcialmente a cena.
Um boneco era introduzido ou removido, sempre de modo bem visível à
138
criança, contudo, permanecendo oculto o resultado da adição ou subtra-
ção. Finalmente, o anteparo era baixado, revelando resultados corretos (por
exemplo: 2 + 1 = 3; 2 – 1 = 1) ou incorretos (1 + 1 = 1; 2 – 1 = 2). Para
produzir resultados incorretos, um experimentador escondido atrás do palco
retirava um boneco por um fundo falso. Assim, os testes de adição e subtra-
ção de Wynn sempre consistiam de um par de eventos numéricos, havendo
dois tipos de par: o par correto (operação resultado correto) e o par in-
correto (operação resultado incorreto). Assim, cada operação (adição ou
subtração) foi testada sempre alternando um par correto com um incorreto
(ou vice-versa), repetindo-se três vezes cada par, de modo a perfazer um total
de seis pares de eventos numéricos para cada operação. Note que os bebês
assistiam somente a dois resultados diferentes. Os bebês olharam por mais
tempo para os resultados “incorretos”, com uma diferença estatisticamente
signicante ao longo de todos os blocos de teste tanto no começo quanto
no m do experimento. Porém, os bebês falharam com arranjos numéricos
acima de três objetos, tais como 2 versus 4, 3 versus 4 e 3 versus 6.
O ESTUDO CLÁSSICO DE COHEN E MARKS: FALSEANDO O ESTUDO DE WYNN
Alguns pesquisadores levantaram a possibilidade de que, em vez
de estarem discriminando os arranjos com base na numerosidade, os bebês
poderiam estar simplesmente esboçando uma preferência pela familiarida-
de sensório-perceptiva geral dos arranjos acoplada a uma preferência para
olhar para onde há mais objetos (COHEN; MARKS, 2002). A discussão
desse estudo é importante, mesmo ao custo de alongar um pouco mais o
capítulo, pois ele consiste no principal, senão o único, estudo empírico
de que temos conhecimento, que se dedicou a falsear, de forma elegante e
interessante os resultados de Wynn (1992a).
No primeiro experimento de Cohen e Marks (2002), bebês de
cinco meses de idade viram uma série de somente dois tipos de operações,
“1 + 1” e “2 – 1”. Mas, diferentemente do estudo de Wynn (1992b), em
que os bebês viam uma alternância de somente dois tipos de resultados
diferentes (correto ou incorreto) para cada operação, os bebês de Cohen
e Marks (2002) viam quatro resultados diferentes (isto é, a apresentação
de 0, 1, 2 ou 3 objetos) para cada operação em duas repetições de cada re-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
139
sultado (diferentemente de Wynn, 1992, em que cada resultado tinha três
repetições) perfazendo, assim, um total de oito pares de eventos numéricos
e, portanto, seis incorretos e apenas dois corretos. Apesar dessas diferenças
metodológicas, os bebês ainda mostraram o mesmo padrão de resultados
obtidos por Wynn (1992a) – olhar por mais tempo para o resultado in-
correto 1 no grupo da adição “1 + 1” e para o 2 no grupo da subtração “2
- 1” no primeiro bloco de testes. Entretanto, não mostraram preferência
pelo resultado incorreto 3 em todos os blocos. Em suma, ao longo de todo
o primeiro experimento os bebês de Cohen e Marks (2002) olharam por
mais tempo, não para todos os resultados incorretos, mas preferiram os
resultados de exibição idêntica à exibição inicial (i.e. a um objeto na série
“1 + 1”, a dois objetos na série “2 – 1”) em lugar dos resultados diferentes
da apresentação inicial. Portanto, Cohen e Marks (2002) argumentaram
que o maior tempo do olhar aos resultados aritméticos incorretos no ex-
perimento de Wynn (1992a) poderia ser explicado pela preferência pela
familiaridade da apresentação inicial. Num terceiro experimento, Cohen
e Marks (2002) mostraram aos bebês eventos de “mudança de número”,
mas sem nenhuma operação aritmética, nos quais os bebês viam tanto
um quanto dois objetos serem escondidos por uma tela, cuja remoção al-
guns segundos depois podia revelar 0, ou 1, 2 ou 3 itens. Aqui, os bebês
novamente olharam por mais tempo para o resultado possível, no qual o
número revelado era o mesmo que o do display inicial, do que eles olharam
para o número (impossivelmente) mudado.
Entretanto, a hipótese da familiaridade levantada com base nes-
ses dois experimentos de Cohen e Marks (2002) não explica porque os
bebês de Wynn (1992a) também olharam por mais tempo para o resul-
tado incorreto 3, após a operação “1 + 1”, além do resultado incorreto
1. Num segundo experimento, Cohen e Marks (2002) tentaram mostrar
que a preferência por 3 após a operação “1 + 1” poderia ser explicada
pela preferência por arranjos maiores e apresentaram diferentes arranjos
de 0, 1, 2 ou 3 itens sem qualquer operação aritmética prévia para os
bebês simplesmente olharem para eles. Entretanto, no primeiro bloco os
bebês olharam por mais tempo para 2 do que para 3 itens e a tendência de
olharem mais tempo para arranjos maiores começou a ocorrer somente no
segundo bloco de tentativas. Mas, ainda assim, Cohen e Marks usaram os
140
dados deste segundo experimento como evidência de que na adição “1 +
1” do estudo de Wynn (1992a) os bebês olharam por mais tempo para o
resultado incorreto 3 do que no resultado correto devido a uma preferência
para números maiores e não porque tinham gerado uma expectativa de que
o resultado seria 2.
De fato, a hipótese da preferência por quantidades maiores cai
por terra se levarmos em conta, primeiramente, que no experimento 1 de
Cohen e Marks (2002), os bebês não olharam signicativamente por mais
tempo o par incorreto “1 + 1 = 3” do que para o par correto “1 + 1 = 2” e,
em segundo lugar, que a preferência por números maiores no segundo não
emergiu antes de suas quatro primeiras tentativas.
Cohen e Marks (2002) tinham uma hipótese dual, qual seja, a de
que dois fatores não numéricos, a saber, a preferência pela familiaridade e
pelos arranjos maiores, poderiam explicar os resultados de Wynn (1992a).
Contudo, além de os seus resultados não serem satisfatoriamente consis-
tentes com ela, eles também não conseguiram demonstrar que as operações
de adição e subtração não fazem diferença no paradigma padrão, em que
há somente dois resultados ao invés de quatro (CAREY, 2002). Em outras
palavras, além de por um lado Cohen e Marks (2002) não terem produ-
zido evidências consistentes com sua hipótese dual, por outro eles tam-
bém não replicaram os resultados de Wynn (1992a) em razão do tipo de
manipulação que introduziram em importantes parâmetros experimentais,
conforme descrito acima.
De fato, Cohen e Marks empregaram desvios metodológicos
signicativos com relação ao estudo original de Wynn (1992b). A autora
argumenta (WYNN, 2002) que o método utilizado por Cohen e Marks
não representa o paradigma experimental padrão de “violação de expec-
tativa”, no qual equilibram-se os resultados corretos e incorretos, mas
sim um paradigma no qual, além do excesso de resultados diferentes – e,
portanto, um excesso de escolhas possíveis – há um grande desequilíbrio
entre eventos impossíveis e possíveis, com 75% das tentativas represen-
tando resultados impossíveis, em contraste com o experimento de Wynn
(1992a), em que houve 50% de eventos possíveis e 50% de impossíveis.
Essas diferenças podem introduzir vieses, pois a sobrecarga de informações
com um excesso de possibilidades de escolha pode aumentar a demanda
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
141
de atenção dos bebês para características perceptivas superciais, em de-
trimento das diferenças conceituais, cuja detecção requer processos infe-
renciais (WYNN, 2002; CAREY, 2002). Além do excesso de informações
fornecidas, o delineamento experimental de Cohen e Marks (2002) apre-
senta de modo desequilibrado os eventos impossíveis e os possíveis – 75%
e 25%, respectivamente – o que, somado aos outros fatores apontados,
pode levar os bebês a aprenderem rapidamente a “esperar o inesperado”, ou
que qualquer resultado é “possível” nesse contexto experimental (WYNN,
2002, p. 208).
Para nalizar, cabe destacar que as descobertas de Wynn (1992a)
geraram muitas replicações e extensões importantes, bem como novos pa-
radigmas experimentais, cujos resultados descartam denitivamente a hi-
pótese opcional da preferência pela familiaridade.
EVIDÊNCIAS DO SENSO NUMÉRICO EM BEBÊS E DE SUA NATUREZA SUPRAMODAL
O desenvolvimento de novas técnicas experimentais tem possibi-
litado a produção de abundantes evidências sobre a representação mental
de objetos ocultos (noção de permanência do objeto) e seus atributos nu-
méricos em bebês pré-verbais, as quais incluem recursos para o controle
de eventuais efeitos de preferência pela familiaridade sensório-perceptiva.
Vejamos alguns exemplos.
Simon, Hespos e Rochat (1995) mostraram que bebês podem res-
ponder a transformações numéricas de objetos na tarefa de Wynn (1992a),
mesmo quando as características desses objetos são modicadas atrás do
anteparo, portanto, fora de suas vistas, por exemplo, a substituição de um
boneco por outro diferente. Isso mostra que os bebês se basearam nas dife-
renças numéricas e não em outras propriedades como forma, cor, etc.
Koechlin, Dehaene e Mehler (1997) replicaram os mesmos re-
sultados de Wynn (1992a) mostrando que os bebês respondiam ao núme-
ro mesmo quando os objetos ocluídos se moviam em uma base giratória,
tornando sua localização variável e imprevisível, indicando, assim, que os
bebês responderam às diferenças numéricas e não à localização dos objetos
e, consequentemente, não à familiaridade sensório-perceptiva.
142
Aguiar e Baillargeon (1999) realizaram um estudo com palcos
separados, no qual as preferências por familiaridade foram totalmente con-
troladas e ainda assim bebês de apenas dois meses e meio distinguiram
entre eventos com um e dois objetos e olharam mais tempo para resultados
incorretos e não para os arranjos perceptivos familiares. Da mesma forma,
bebês de seis a oito meses de idade distinguem a numerosidade não somen-
te de objetos, mas também de eventos ou ações, como a mudança no nú-
mero de saltos de um fantoche (WYNN, 1996). Portanto, a discriminação
dos atributos numéricos de eventos ou ações é de difícil conciliação com a
hipótese de preferência pela familiaridade, de Cohen e Marks (2002).
Os bebês também são sensíveis à numerosidade contida nas infor-
mações auditivas e, mais do que isso, são capazes de integrar informações
numéricas nas modalidades visual e auditiva. Starkey, Spelke e Gelman
(1990) mostraram a bebês slides com 2 ou 3 objetos simultaneamente a 2
ou 3 sons de batidas em tambor. Ao ouvirem duas batidas os bebês olham
por mais tempo para o slide com 2 objetos e, da mesma forma, ao ouvirem
3 batidas eles olham por mais tempo para os slides contendo 3 objetos.
Conclui-se que bebês de seis a oito meses podem parear objetos e sons
e relacionarem a numerosidade contida em informações de modalidades
sensoriais diferentes. Mais recentemente, Kobayashi et al. (2004) replica-
ram as operações de Wynn (1992a) envolvendo objetos acústicos e visuais.
Bebês de cinco meses entendem que a adição de 1 objeto visual + 1 tom
é igual a 2 objetos (ou eventos) e, da mesma forma, esperam que 1 objeto
visual + 2 tons é igual a 3 objetos, bem como 2 objetos visuais + 1 tom
também é igual a 3 objetos. A capacidade de reconhecer operações arit-
méticas básicas com estímulos de diferentes modalidades sensoriais indica
fortemente que esta capacidade numérica não é o reexo de uma simples
tendência de preferir arranjos sensoriais e perceptivos gerais familiares ou
mais complexos e, além disso, também indica que a percepção numérica é
de natureza supramodal.
Huntley-Fenner, Carey e Solimando (2002) empregaram o mes-
mo procedimento de Wynn (1992a), com modicações. Foram usados três
tipos de estímulos: dois objetos coesos, sendo um rígido e outro exível
(uma substância gelatinosa) e areia (objeto não coeso). Os objetos coesos
foram confeccionados de modo a terem a mesma aparência de uma porção
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
143
de areia. As crianças puderam manipular todos os estímulos antes do início
da fase de testes. Após a manipulação dos estímulos experimentais pelas
crianças, eles foram mostrados a elas sendo introduzidos no palco. A in-
trodução foi feita de cima para baixo, com uma pausa a meio caminho. O
objeto rígido foi introduzido pendurado por um barbante, o exível pela
mão de um experimentador e a areia foi despejada a partir de um recipien-
te transparente. Na fase de testes, nalmente, a introdução de um objeto
ou porção de areia somava-se ao que já estava inicialmente presente no
palco, de modo semelhante à descrição do experimento de Wynn (1992a).
O resultado dessa operação de soma podia ser possível ou impossível. Os
resultados impossíveis consistiam da manutenção numérica dos estímu-
los inicialmente presentes no palco, cena com a qual a criança já havia
sido familiarizada. De acordo com a hipótese da familiaridade, de Cohen
e Marks (2002), os bebês deveriam olhar mais tempo para os resultados
incorretos, fosse a operação feita com objetos coesos ou com areia. No
entanto, os resultados da pesquisa revelaram que os bebês olharam consis-
tentemente por mais tempo para os resultados impossíveis nas adições de
objetos coesos, mas não para os eventos impossíveis com porções de areia.
Isso mostra, de maneira contundente, que esse comportamento não reete
uma preferência pela familiaridade, mas antes, muito provavelmente pela
numerosidade.
Um fato importante no estudo de Huntley-Fenner, Carey e
Solimando (2002) é que os bebês falharam em representar uma porção de
areia como um indivíduo particular que possa ser rastreado no tempo e no
espaço. Mas eles foram bem-sucedidos com objetos coesos. De fato a coe-
são é usada por todas as culturas para distinguir não somente entre objetos
individuais e coleções de objetos, mas também para distinguir objetos de
substâncias não coesas ou não sólidas, como areia e água. Essa distinção
se reete nos sistemas nominais de muitas línguas do mundo, marcando
a distinção entre entidades que podem ser diretamente contadas de en-
tidades não contáveis (HUNTLEY-FENNER; CAREY; SOLIMANDO,
2002). Por exemplo, nós podemos dizer: “três cães”, porque o substantivo
“cão” se refere a um objeto individual e coeso e, portanto, contável. Mas
não podemos dizer: “uma areia” ou “três águas”, a não ser que estes “nomes
de massa” sejam acompanhados de palavras de medida ou classicadoras,
144
tais como “dois montes de areia” ou “dois copos d’água” (CAREY, 1997;
HUNTLEY-FENNER; CAREY; SOLIMANDO, 2002).
De fato, os adultos parecem construir naturalmente o conceito
de que materiais como areia e água não são indivíduos ou entidades não-
-individuadas. Carey (1997) nota que todas as línguas marcam a distinção
gramatical entre objetos individuáveis e objetos não individuáveis, apesar
da variação entre as línguas quanto às entidades contempladas por essa
distinção gramatical. Por exemplo, há línguas que individuam somente
pessoas, línguas que individuam também animais e objetos inanimados e
línguas, como a portuguesa e a inglesa, que incluem na sua individuação
quaisquer estruturas complexas que possam ser rastreadas no tempo e no
espaço como um todo coeso e coerente, bem como entidades abstratas
(como um “cochilo” ou “uma opinião”) (CAREY, 1997).
Portanto, a pesquisa sobre as capacidades numéricas em bebês
ainda muito novos revela a permanência do objeto muito antes do que
previa a teoria piagetiana. Além disso, estes estudos mostram claramente
que objetos coesos possuem um status privilegiado em relação aos objetos
não coesos em um sistema neurocomputacional capaz de estabelecer repre-
sentações de indivíduos (individuação) e de seu rastreamento no tempo e
no espaço que parece ser, de fato, inato.
O PROCEDIMENTO DE BUSCA MANUAL POR OBJETOS
Evidências muito contundentes sobre a natureza genuinamente
numérica das respostas dos bebês de Wynn (1992) também provêm de es-
tudos recentes usando um procedimento não baseado na habituação, mas
sim na busca manual pelos objetos.
À mesma época de Wynn (1992), Starkey (1992) desenvolveu
um método no qual crianças de um a quatro anos viram bolas de tênis
sendo colocadas em uma caixa opaca e, depois, viram os experimentadores
acrescentarem ou retirarem de uma a três bolas da caixa. Ao serem instadas
a retirarem as bolas após as operações de adição ou subtração, as crianças
de um ano e meio a dois anos procuravam pelo número correto de bolas
até a quantidade 4, demonstrando uma compreensão dessas operações nu-
méricas ainda em fase pré-verbal.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
145
Esse método de busca manual foi mais recentemente adaptado
para crianças de oito a 12 meses (VAN DE WALLE; CAREY; PREVOR,
2000; FEIGENSON; CAREY, 2003). O procedimento de “olhar prefe-
rencial” constitui-se numa tarefa de reconhecimento, em que um evento
visual anterior é comparado com um atual. Ele fornece uma medida indi-
reta sobre “quantos objetos o bebê acha que tem naquele evento”. Em con-
traste, a busca manual é uma tarefa com maiores demandas de memória
de trabalho, uma vez que não há comparação e exige a manutenção da re-
presentação dos objetos por 10 a 20 segundos, fornecendo, portanto, uma
evidência direta da busca por um objeto que está na mente do bebê (VAN
DE WALLE; CAREY; PREVOR, 2000). A busca manual por objetos es-
condidos tem produzido resultados semelhantes e até mais contundentes
que os do paradigma do “olhar preferencial”, revelando que, de fato, os
mecanismos cognitivos envolvidos em ambos os métodos são os mesmos.
Ao verem um experimentador esconder uma bolacha num balde opaco à
esquerda e, depois, esconder sucessivamente 1 + 1 = 2 bolachas no balde à
direita, bebês de 10 a 12 meses procuram o balde com a maior quantidade.
Eles fazem o mesmo com relação a arranjos de 1 versus 3, 2 versus 3, mas
falham ao comparar 2 versus 4, 3 versus 4 e 3 versus 6 (FEIGENSON;
CAREY; HAUSER, 2002). Entretanto, além da numerosidade per se, este
sistema numérico exato também computa as propriedades contínuas de
pequenas coleções subitizáveis. No mesmo estudo com biscoitos realizado
por Feigenson, Carey e Hauser (2002), quando os experimentadores colo-
caram um biscoito com o dobro do tamanho num balde e dois biscoitos
menores no outro balde, cuja soma das áreas era a metade do biscoito
grande, os bebês escolheram o balde com o biscoito maior e não o balde
com os dois biscoitos menores, baseando sua escolha, portanto, em infor-
mações quantitativas contínuas e não-numéricas dos objetos. Estudos pos-
teriores com o paradigma do alcance manual mostraram denitivamente
que quando essas variáveis contínuas são totalmente controladas, de forma
a criar coleções subitizáveis numericamente diferentes, mas mantendo-se
constante a área dos objetos escondidos, os bebês sempre baseiam suas
buscas no número (FEIGENSON; CAREY, 2003).
146
SENSO NUMÉRICO: DOIS SISTEMAS DISTINTOS, O EXATO E O APROXIMADO
Juntas, as abordagens de habituação (WYNN, 1992a; CAREY,
2002) e do alcance manual dos objetos (VAN DE WALLE; CAREY;
PREVOR, 2000; FEIGENSON; CAREY, 2003) revelam que o compor-
tamento numérico dos bebês é sólido e não apenas baseado nas proprie-
dades visuais contínuas e não-numéricas dos estímulos e que os bebês, de
fato, além de rastrear mentalmente os objetos também podem representar
as propriedades genuinamente numéricas dos estímulos. O comportamen-
to numérico dos bebês apresenta algumas características típicas, isto é, as-
sinaturas comportamentais que aparecem independentemente do método
experimental usado.
Entretanto, também cou claro que a representação numéri-
ca súbita, sem o recurso à contagem, é limitada a pequenas quantidades
também denominadas quantidades subitizáveis (STARKEY; COOPER,
1980), que vão até três ou quatro objetos (MANDLER; SHEBO, 1982;
TRICK; PYLYSHYN, 1994) e que este sistema numérico exato ou “subi-
tizador” evoluiu não somente para o rastreamento preciso de um pequeno
número de indivíduos, mas também para a representação de informações
sobre suas propriedades quantitativas contínuas, como tamanho. É fácil
entender a evolução biológica dessas capacidades se compreendermos que
um predador, por exemplo, necessita saber não só o número de indivíduos
no grupo que ele pretende atacar, mas também se a presa alvo é a menor
e, portanto, a mais fácil de ser abatida entre os outros membros do grupo.
Por outro lado, há muito tempo sustenta-se que há um sistema
numérico puro que permite a representação numérica aproximada de gran-
des coleções. Ele está presente em animais e bebês humanos (DEHAENE,
1997). Experimentos recentes com o paradigma da habituação que contro-
lam totalmente as informações de quantidades contínuas e não numéricas,
revelam que bebês de seis meses de idade discriminam numerosidades su-
periores a três, diferindo na razão 1:2, tais como 8 e 16, 16 e 32 pontos, mas
falham quando as razões são menores, como, por exemplo, de 1:1,5; como
8 e 12, ou 16 e 24 pontos. Portanto, essas representações para numerosida-
des maiores, as únicas exclusivamente numéricas, são sempre aproximadas,
mas sua precisão aumenta com o desenvolvimento. Assim, a razão entre as
coleções tem um limite mínimo de 1:2 nos bebês de seis meses, de 1:1,5
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
147
em bebês de 10 meses (LIPTON; SPELKE, 2003; XU; SPELKE, 2000)
e pode ser tão próxima quanto 7:8 em adultos (BARTH; KANWISHER;
SPELKE, 2003). E assim como na subitização, as representações numéri-
cas aproximadas não se restringem à modalidade visual, mas se estendem
para sequências de eventos temporalmente distintos, como sons, ainda
assim mantendo as mesmas assinaturas comportamentais observadas em
tarefas com estímulos visuais, isto é, com os padrões de sucesso e falhas
relacionadas à razão entre as coleções (LIPTON; SPELKE 2004).
Em suma, hoje sabemos que primatas não-humanos, bebês e adul-
tos humanos possuem dois sistemas numéricos de natureza supramodal, sen-
síveis tanto a conjuntos de objetos quanto a eventos temporalmente espaça-
dos, como saltos de um fantoche (DEHAENE; DEHAENE-LAMBERTZ;
COHEN, 1998; HAUSER et al., 2003; HAUSER; SPELKE, 2004;
FEIGENSON; DEHAENE; SPELKE, 2004). Um é o sistema numérico
exato até a quantidade de três objetos, o qual, entretanto, também computa
variáveis contínuas. Este é o chamado sistema “subitizador” ou de rastrea-
mento de objetos (TRICK; PYLYSHYN, 1994). Ele serve para rastrear indi-
víduos no espaço e no tempo, mas não parece ter evoluído especicamente
para enumerar objetos ou realizar comparações numéricas. E embora maca-
cos e humanos possam usá-lo para representar objetos como indivíduos, não
o usam especicamente para representá-los como grupos com valor cardinal
(XU; SPELKE; GODDARD, 2005). O outro, o sistema numérico apro-
ximado para quantidades maiores que três, tem se revelado, de fato, como
especicamente numérico, ou seja, é imune às variáveis não numéricas.
Experimentos com animais usando procedimentos semelhantes
aos aqui reportados revelaram que pequenos primatas possuem as mes-
mas capacidades numéricas com as mesmas “assinaturas comportamen-
tais” observadas em bebês e adultos humanos (HAUSER et al., 2003).
Interessante. Embora as habilidades numéricas espontâneas em macacos
sem treinamento proporcionem respostas mais lentas na discriminação nu-
mérica aproximada do que em macacos treinados, ainda assim eles são ca-
pazes de discriminar coleções com proporções entre 1,25 e 1,5 (HAUSER
et al., 2003), superando em muito bebês de seis meses estudados em con-
textos experimentais com métodos e arranjos de estímulos muito similares
(LIPTON; SPELKE, 2003).
148
Outras investigações psicológicas recentes sobre a cognição nu-
mérica demonstram que as representações numéricas e o pensamento
matemático culturalmente construído dependem, em parte, de um sen-
so aproximado de magnitudes numéricas, ou seja, um “senso numérico”
de natureza não verbal (DEHAENE, 1997; GALLISTEL; GELMAN,
1992). Mesmo impedidos de contar, adultos mantêm-se aptos a deter-
minar a quantidade exata de pequenas quantidades (subitizáveis), mas
somente a quantidade aproximada de grandes numerosidades (não subi-
tizáveis) (CORDES et al., 2001). E mesmo quando os números são ex-
pressos simbolicamente por algarismos especicando a quantidade exata,
ainda assim esses símbolos evocam um senso numérico aproximado, com
o qual raciocinamos quando comparamos números ou fazemos subtrações
ou somas de números muito grandes (DEHAENE, 1997). É por isso que
os adultos são mais rápidos em dizer qual o maior de dois números dis-
tantes (por exemplo, 9 e 5) do que de dois números próximos (como 5 e
6) (DEHAENE; DUPOUX; MEHLER, 1990), bem como mais rápidos
em rejeitar respostas erradas de problemas aritméticos quando o número
incorreto é muito distante do correto (PINEL et al., 2001).
Resultados de estudos antropoculturais convergem na mesma di-
reção das evidências psicológicas. Culturas indígenas da Amazônia, como
as dos povos Pirahã e Mundurucu possuem sistemas de contagem de tipo
“um, dois, muitos”, no primeiro caso e, no segundo, palavras-número até o
equivalente a “cinco”. Isso limita sua habilidade para determinar com exa-
tidão o valor de conjuntos com numerosidades superiores a três ou cinco
num e noutro caso, respectivamente (Pica et al., 2004). Entretanto, am-
bos os povos possuem habilidades de quanticação não verbal, isto é, sem
contagem. Uma exata para pequenas quantidades e outra aproximada para
grandes quantidades, as quais parecem se originar dos mesmos mecanis-
mos cognitivos subjacentes às mesmas habilidades já constatadas em ani-
mais e bebês humanos (GELMAN; BUTTERWORTH, 2005; HAUSER;
SPELKE, 2004; SPELKE, 2003).
Juntas, as evidências antropoculturais, psicológicas e desenvolvi-
mentais apontam para a universalidade dos dois sistemas numéricos não
verbais e inatos, além de um sistema numérico exato, este de natureza
verbal e culturalmente determinado
. Adultos, bebês, crianças pré-escolares
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
149
e primatas não-humanos parecem compartilhar um sistema de processa-
mento numérico aproximado para números não simbólicos, tais como co-
leções de pontos ou sequências de tons. Estudos comportamentais com
humanos adultos implicam uma ligação entre essas habilidades numéricas
não simbólicas e o processamento numérico simbólico. Por exemplo, efei-
tos similares de distância na precisão e no tempo de reação para arranjos de
pontos e numerais arábicos.
INTERAÇÃO E INTEGRAÇÃO ENTRE NUMEROSIDADE E LINGUAGEM
Em um estudo com crianças entre dois e dois anos e meio, Wynn
(1992a) produziu resultados extremamente esclarecedores sobre pelo me-
nos um dos aspectos da integração entre os sistemas do senso numérico
inato e o da linguagem. Ao usar uma tarefa numérica a qual ela chamou de
“dê um número”, as crianças eram requisitadas a dar a um fantoche (que
falava com ela) 1 a 6 itens de uma pilha de animais de brinquedo. Mesmo
as crianças mais novas (dois anos e meio) deram um objeto quando solici-
tadas a dar um objeto e nenhuma criança deu um objeto quando solicitada
a dar dois, três ou quatro objetos, mostrando uma clara compreensão de
as palavras número indicam numerosidades. Entretanto, a despeito deste
conhecimento inicial, as crianças levaram aproximadamente um ano intei-
ro a mais para aprender quais palavras se referem a quais numerosidades.
Wynn (1992b) encontrou que uma criança de dois anos e meio
pode, de fato, conhecer a cardinalidade de pequenos conjuntos subitizá-
veis de itens como, por exemplo, que 3 é mais que 2 e menos que 4, sem
saber, necessariamente, que o último número de uma contagem indica a
numerosidade (a cardinalidade). As crianças mais novas (dois anos e meio)
mesmo que ainda estivessem começando a aprender a contar, foram bem
sucedidas quando requeridas a dar apenas um brinquedo ao fantoche, bem
sucedidas algumas vezes quando requeridas a dar 2 animais e quase sem-
pre deram um punhado de brinquedos ao serem requisitadas a dar de três
a cinco animais, quase nunca recorrendo à contagem. Por outro lado, as
crianças de três anos e meio tenderam a contar os itens de uma pilha à
medida que os davam ao fantoche e sempre paravam na palavra número
150
pedida, tendo sido bem sucedidas até a numerosidade de três ou quatro
(veja Tabela 1).
Em suma, Wynn (1992b) mostrou que por volta de três anos e
meio de idade as crianças já imputam um signicado às palavras número
que de alguma forma está ligada à numerosidade, isto é, à cardinalidade,
quando esta está dentro do seu alcance de contagem.
OS CIRCUITOS NEURAIS DO COMPORTAMENTO NUMÉRICO
Tabela 1: O desenvolvimento da compreensão dos números na criança e a
rotina de contagem (WYNN, 1990, 1992).
Idade
(em anos)
Compreensão das palavras número e rotinas de contagem
2-2,5
“Um” designa ‘um indivíduo”.
Dois, três, ..., seis... designa “um grupo”
2,5- 3, 25
“Um” designa “um indivíduo”
“Dois” designa um grupo composto “um indivíduo mais outro indivíduo”
Três,...seis,...designa “outros grupos acima de dois elementos”
3,25- 3,5
“Um” designa ‘um indivíduo”.
Dois, três, ...., seis... designa “um grupo”
“ Trê s” designa um “grupo composto de um indivíduo, outro indivíduo, e ainda
um outro indivíduo”.
Quatro, ... seis ... designa “um outro grupo além do grupo “Dois” e do grupo “Três”.
3,5 a adulto
Cada palavra-número designa um “grupo de indivíduos”. O grupo designado
por cada palavra-número contém “um indivíduo a mais” que o grupo designado
pela palavra-número anterior na rotina de contagem.
Fonte: adaptada de Spelke (2003).
3
Finalmente, essas assinaturas comportamentais de um senso nu-
mérico básico, logeneticamente herdado, são corroboradas por evidências
de uma “assinatura neurológica” que revelam a existência de substratos
neurais sobre os quais se assenta o comportamento numérico. Cinco ti-
pos de evidências neurológicas suportam a ideia de que porções bilaterais
do córtex parietal inferior, particularmente a porção horizontal do sulco
3
SPELKE, E. S. What makes humans smart? In: GENTNER, D.; GOLDIN-MEADOW, S. Advances in the
investigation of language and thought. Cambridge, MA: MIT Press, 2003.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
151
intraparietal, intimamente ligada ao processamento espacial (GREFKES;
FINK, 2005; HUBBARD et al., 2005), desempenham um papel, se não
especíco, crucial na representação numérica. Vejamos, pois, um resumo
de parte da literatura sobre neurocognição numérica, a partir de um enfo-
que histórico.
A NEUROPSICOLOGIA DOS NÚMEROS: ESTUDOS DE LESÃO CEREBRAL
No início do século XX, Lewandowsky e Stadelmann (1908,
apud ARDILA; ROSSELLI, 2002), forneceram o primeiro relato detalha-
do de um paciente cujos danos focais nas áreas visuais do cérebro (córtices
occipito-temporais) induziram a distúrbios seletivos de cálculo. O paciente
podia fazer cálculos mentais, mas tinha severas diculdades na leitura dos
símbolos aritméticos. Esse estudo constituiu um marco da neuropsicologia
e da neurocognição matemática por produzir evidência de que desordens
de cálculo podem ser diferentes e dissociadas de distúrbios de linguagem.
Ainda em 1919, o neurologista sueco Solomon E. Henschen
(1847-1930), interessado nas afasias e no processamento visual, descobriu
que danos focais nos córtex parietal prejudicavam com relativa seletividade
o cálculo matemático (HENSCHEN, 1919, apud ARDILA; ROSSELLI,
2002). Em 1925, Henschen revisou 305 casos da literatura juntamente
com 67 de seus pacientes e conrmou que lesões focais em certas áreas
cerebrais do hemisfério esquerdo próximas, mas distintas daquelas envol-
vidas na linguagem, prejudicavam cálculos matemáticos preservando a lin-
guagem e a música (HENSCHEN, 1925, apud ARDILA; ROSSELLI,
2002). Henschen reportou que a terceira convolução (giro) do córtex fron-
tal inferior corresponderia ao centro da pronúncia dos números, ao passo
que duas áreas posteriores no córtex parietal inferior, particularmente no
giro angular (área de Brodman BA39) estariam envolvidas mais especi-
camente no processamento numérico: a parte mais infero-posterior do
giro angular (mais próxima dos córtices visuais no giro occipital) seria o
centro da “escrita dos números”, ao passo que a área superior do giro an-
gular envolvendo a ssura intraparietal seria o centro da “leitura dos nú-
meros”. Henschen foi quem cunhou o termo “acalculia”, usado até hoje
na neuropsicologia. Assim, os estudos de Henschen sugeriram sistemas
152
neurais independentes que pareciam especialmente engajados em aspectos
especícos na aritmética básica e estabeleceram de uma vez por todas as
bases das futuras pesquisas neurológicas sobre processamento dos números
(ARDILA; ROSSELLI, 2002).
O neurologista alemão Hans Berger (1873-1941), responsável
pelo primeiro uso da técnica de eletroencefalograma (EEG) em humanos,
também foi o primeiro a introduzir a distinção entre acalculia primária e se-
cundária (BERGER, 1926, apud ARDILA; ROSSELLI, 2002). Conforme
Berger, a acalculia primária ou pura, também chamada de “anaritmetia”, se
caracterizaria pela perda de conceitos numéricos e da habilidade de com-
preender e executar operações aritméticas básicas, ao passo que a acalculia
secundária compreenderia décits no cálculo decorrentes de outros décits
cognitivos não especícos dos números, isto é, de décits de domínio mais
geral, tais como memória, linguagem etc. Portanto, os estudos de Berger
e sua nomenclatura proposta, representam a primeira distinção clara entre
décits de cálculo de natureza mais especicamente numérica e décits de
cálculo decorrentes de prejuízos cognitivos na linguagem ou na memória.
Outro neurologista, o austríaco Josef Gerstmann (1887-1969)
propôs, com base em inúmeros estudos de prejuízos na cognição matemá-
tica decorrentes de danos cerebrais, que a acalculia primária resultaria de
lesões no giro angular esquerdo e estaria sistematicamente associada com a
agraa, desorientação espacial esquerda-direita e agnosia digital. A acalcu-
lia primária juntamente com este conjunto de sintomas não matemáticos
constitutuem uma única síndrome que, desde então, é chamada de “sín-
drome de Gerstmann” e faz parte do repertório de avaliações neuropsico-
lógicas até os dias de hoje.
Em 1961, Hecaen e colegas (HÉCAEN; ANGELERGUES;
HOUILLIER, 1961 apud ARDILA; ROSSELLI, 2002) publicaram um
extenso trabalho que investigou 183 pacientes com lesões retro-rolândicas,
isto é, danos nas áreas cerebrais posteriores, excluindo-se os pacientes com
danos frontais. Hecaen e seus colaboradores identicaram três tipos prin-
cipais de desordens de cálculo: (1) alexia e agraa para números, associada
ou não com palavras; (2) acalculia espacial, desordem da organização espa-
cial dos dígitos que leva a erros de cálculo, mas com preservação dos núme-
ros e dos fatos aritméticos (frequentemente associada com heminegligên-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
153
cia espacial e inversões de números); (3) anaritmetia (acalculia primária),
décit básico na habilidade matemática computacional que parece reetir
décits conceituais dos números, excluindo alexia e agraa para números
e acalculia espacial. Entretanto, assim como todos os outros autores repor-
tados, Hecaen e seus colegas (1961) não supõem um décit isolado dos
conceitos numéricos e operações aritméticas. É importante notar também
que Hécaen, Angelergues e Houillier também fornecem uma descrição de
acalculia primária mais seletiva do que a síndrome de Gerstmann ao pro-
por que a anaritmetia pode ser encontrada sem estar associada à agraa
para números e acalculia espacial.
Resumindo esta breve incursão histórica dos décits matemáti-
cos em estudos de lesão cerebral, podemos concluir que a anaritmetia ou
acalculia primária é um décit básico da habilidade computacional dos
números. Ela corresponde a uma incapacidade de compreender quantida-
des e fazer comparações e estimativas numéricas, isto é, perda de conceitos
numéricos e uso de regras de cálculo para executar operações aritméticas
básicas. Os décits de cálculo na anaritmetia são encontrados em opera-
ções escritas e orais, com preservação da linguagem, conhecimento dos
números, da contagem e outros fatos aritméticos memorizados verbal-
mente. Portanto, tornou-se largamente conhecido e aceito na neurologia
que a anaritmetia/acalculia primária adquirida está associada com danos
no giro angular esquerdo do lobo parietal desde os estudos de Henschen
(ARDILA; ROSSELLI, 2002) e representa danos a um sistema conceitual
genuinamente numérico que independe da linguagem. Em suma, embora
danos linguísticos normalmente causem sérios prejuízos à aritmética, da-
nos em áreas não linguísticas podem causar sérios prejuízos em aspectos
conceituais básicos dos números, os quais desencadeiam prejuízos no cál-
culo, independentes da preservação da linguagem.
Juntando-se esses achados históricos aos estudos neuropsicoló-
gicos mais recentes, podemos resumir a neurocognição dos números nos
parágrafos que se seguem.
Primeiro, lesões parietais em adultos podem causar danos sele-
tivos da compreensão e operações com números preservando a lingua-
gem (DEHAENE; COHEN, 1997; LEMER et al., 2003; DELAZER et
al., 1999). Reciprocamente, o número pode ser seletivamente preserva-
154
do na presença de severos décits no processamento de outras categorias
de palavras em um paciente com lesões parietais e linguagem preservada
(DEHAENE; COHEN, 1997) que, apesar de não ser capaz de dizer qual
o número médio de dois números apresentados, chegando a responder que
entre o 1 e 3 cava o 7 (tarefa de bissecção numérica), mas conseguia rea-
lizar a bissecção com letras, dias da semana, meses, ou notas de uma escala
musical. Mais intrigante ainda é um estudo recente de três pacientes com
extensa lesão nas áreas linguísticas perissilvianas e grave quadro de afasia,
incluindo afasia de expressão, severo agramatismo tanto na linguagem oral
quanto escrita e apenas uma pequena compreensão léxica, que ainda assim
preservou a matemática até mesmo mais complexa, incluindo operações
com dois e três dígitos e operações com parênteses, do tipo: (3 x 3) - 6
(VARLEY et al., 2005).
Segundo, comparações entre as bases cerebrais do número em
culturas diferentes indicam que o envolvimento do sulco intraparietal é,
de fato, universal. Se a matemática fosse uma atividade exclusivamente
cultural envolvendo uma arquitetura cerebral eminentemente cultural, se-
ria de se esperar uma considerável variação das áreas cerebrais envolvidas
em função do aprendizado, educação e cultura. Relatórios clínicos de vá-
rios lugares do mundo, entretanto, conrmam que as lesões que ocasio-
nam a discalculia adquirida ou acalculia, assim como as áreas de ativação
neural durante tarefas numéricas em indivíduos sadios, estão sistemati-
camente associadas à região parietal inferior (DEHAENE; DEHAENE-
LAMBERTZ; COHEN, 1998).
Terceiro, estudos sobre a discalculia do desenvolvimento
4
indi-
cam a contribuição altamente especíca do sulco intraparietal para o pro-
cessamento do número (TEMPLE, 1989; BUTTERWORTH, 1999). As
pessoas afetadas precisam conar em estratégias verbais laboriosas mesmo
em tarefas tão simples como determinar que nove é maior do que três, ou
que um pato possui duas pernas. A discalculia do desenvolvimento já foi
relacionada a um dano cerebral precoce restrito a uma pequena região do
córtex parietal inferior (LEVY; REIS; GRAFMAN, 1999).
4
Discalculia do desenvolvimento é um décit congênito especíco na percepção numérica e no aprendizado
da matemática escolar. Ele afeta de 5% a 6% das crianças que, à despeito de um quociente de inteligência (QI)
completamente normal, ausência de qualquer diculdade na aquisição da leitura e da escrita e de boa escolari-
zação, nunca adquirirão o conceito de número.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
155
A NEUROCOGNIÇÃO NUMÉRICA EM ESTUDOS DE NEUROIMAGEM
Estudos recentes de neuroimagem (DEHAENE et al., 2003) e
técnicas neurosiológicas utilizando EEG (DEHAENE, 1996; KIEFER;
DEHAENE, 1997) mostram que o segmento horizontal do sulco intrapa-
rietal, bilateralmente (DEHAENE et al., 2003), é a área de maior ativação
em indivíduos sadios enquanto desempenham vários tipos de tarefas nu-
méricas simbólicas, como comparação numérica (identicação do maior de
dois números), aproximação numérica e operações aritméticas básicas mais
complexas de dois dígitos (HUBBARD et al., 2005). O sulco intraparietal
em ambos os hemisférios é uma área de integração multimodal espaço-tem-
poral das informações visuais, auditivas e motoras e na cognição matemática
esta área está envolvida na convergência multimodal da entrada de informa-
ção simbólica e não simbólica (processamento perceptivo dos objetos e seus
atributos espaço-temporais) no processamento matemático (FEIGENSON;
DEHAENE; SPELKE, 2004). O envolvimento do sulco intraparietal nos
conceitos numéricos básicos, tanto nos estudos de lesão quanto nos de neu-
roimagem, reforçam os achados psicológicos no sentido de que, não obstante
a participação crucial da linguagem na aritmética exata, o conceito numérico
básico é um sistema cognitivo não linguístico, de natureza espaço-temporal
e, portanto, supramodal (HUBBARD et al., 2005).
AS BASES NEURAIS DO SENSO NUMÉRICO EM BEBÊS SÃO AS MESMAS DOS ADULTOS
Cantlon et al. (2006), usando a ressonância magnética funcio-
nal (fMRI) em crianças de quatro anos de idade e adultos enquanto estes
observavam arranjos de elementos que podiam variar tanto em número
quanto apenas na forma local dos elementos, mostraram que ambos apre-
sentaram maior resposta do sulco intraparietal para arranjos visuais que
desviavam do estímulo padrão no seu número de elementos do que para
estímulos que desviavam na forma local do elemento. Esta é a primeira
evidência de que os circuitos neurais da cognição numérica conhecidos no
adulto já ocorrem desde muito cedo no desenvolvimento, antes da experi-
ência simbólica sosticada, em consonância com as evidências comporta-
mentais aqui reportadas e discutidas.
156
Usando o mesmo procedimento de Wynn (1992), com modica-
ções e em combinação com a técnica de potenciais relacionados a eventos
(PRE), Berger e Tzur (2006) mediram a ativação eletrosiológica diferen-
cial no escalpo de bebês de seis a nove meses durante as tarefas e compa-
raram essas ativações com as de adultos observando equações matemáticas
simbólicas corretas e incorretas. Além de os bebês terem olhado por menos
tempo para as equações corretas do que para as incorretas, como esperado,
o cérebro dos bebês mostraram potenciais negativos em sincronia com as
apresentações da solução signicantemente diferente para as equações in-
corretas. Mais interessante ainda é que o padrão de ativações no cérebro
dos bebês foi semelhante ao dos cérebros dos adultos.
Estudo um pouco mais recente realizado por Izard, Dehaene-
Lambertz e Dehaene (2008), produziu resultados bastante interessantes. É
sabido que o cérebro humano possui áreas cerebrais diferentes para o pro-
cessamento dos atributos de identidade dos objetos (cor e forma), localiza-
das ventralmente nos córtices occipito-temporais inferiores, ao passo que
o processamento viso-espacial e de movimento é servido por um sistema
dorsal nas áreas occipito-parietais superiores (LENT, 2001; ANDRADE,
2006a). Conforme vimos, o processamento numérico, de natureza espa-
ço temporal é dependente de uma área especíca deste sistema dorsal,
particularmente o sulco intraparietal bilateralmente (DEHAENE et al.,
2003). Izard, Dehaene-Lambertz e Dehaene (2008) registraram os poten-
ciais elétricos em bebês de apenas três meses de idade, evocados tanto por
mudança na identidade dos objetos quanto na sua cardinalidade em um
dado arranjo observado. Usando um modelo 3D da cabeça do bebê, Izard,
Dehaene-Lambertz e Dehaene (2008) reconstruíram as fontes corticais
destas respostas eletrosiológicas e, da mesma forma que nos adultos, as
mudanças de identidade do objeto e de número foram distintas, revelando
uma organização básica ventral/dorsal já denida no cérebro dos bebês.
Como nos adultos, a identidade do objeto nos bebês é codicada ao longo
de um circuito ventral nos lobos temporais, ao passo que as mudanças de
numerosidade ativaram uma rede parieto-pré-frontal, mas, principalmente
no hemisfério direito. Estes resultados não somente enfatizam a continui-
dade desenvolvimental do senso numérico como também apontam para
uma propensão funcional inata na organização cerebral.
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
157
Finalmente, muitas espécies animais respondem à numerosi-
dade, tanto em experimentos com treinamento de tipo “escolha de acordo
com o modelo” (matching to sample) quanto espontaneamente, em expe-
rimentos de busca manual por alimentos humanos (HAUSER et al., 2003;
HAUSER; SPELKE, 2004) semelhantes àqueles desenvolvidos com bebês
(FEIGENSON; CAREY, 2003). Vários estudos já usaram registros neuro-
siológicos de populações neuronais utilizando múltiplos eletrodos implantados
diretamente no cérebro de macacos, revelando um sistema parieto-frontal se-
letivamente ativado pelos números, particularmente nas vizinhanças do sulco
intraparietal em uma área homóloga ao do sulco intraparietal do cérebro dos
humanos (para uma revisão, veja NIEDER, 2005).
DISCUSSÃO
Todos os humanos, independente de sua cultura e educação, pos-
suem uma compreensão intuitiva de número (DEHAENE, 1997). Com
base na literatura aqui revisada, somos da opinião de que os estudos da
AEC, mais especicamente aqueles que utilizam delineamentos experi-
mentais baseados no paradigma da equivalência, sugerem que, de fato, há
uma capacidade numérica independente de linguagem que possibilita a
realização de tarefas numéricas simples e com arranjos com pequeno nú-
mero de elementos.
Nas últimas décadas, a investigação sistemática dos precursores
das habilidades numéricas nos animais e bebês humanos tem lançado lu-
zes sobre as origens da aritmética culturalmente construída. Investigações
comportamentais têm revelado que animais como ratos, pombos e maca-
cos podem extrair a numerosidade aproximada de grupos de objetos vi-
suais e auditivos. A numerosidade é representada pelos animais indepen-
dentemente de outros parâmetros tais como tamanho ou forma do objeto
(HAUSER; SPELKE, 2004; para uma breve revisão em português veja
ANDRADE 2006a, 2006b e PRADO, 2010).
Eloquentes evidências comportamentais de imagem cerebral e
neurosiológicos obtidas de bebês e adultos humanos e também de prima-
tas não humanos, convergem no sentido de sugerirem que o conhecimento
do número é uma competência evoluída do cérebro dos animais e humanos,
158
com uma base cortical no córtex intraparietal bilateralmente (HUBBARD
et al., 2005; FEIGENSON; DEHAENE; SPELKE, 2004). A hipótese do
senso numérico postula que este sistema cerebral já está disponível desde
muito cedo no desenvolvimento, em bebês tão novos quanto três meses de
idade e guia o aprendizado dos numerais e da aritmética na infância e a
aquisição da matemática complexa adulta. As evidências comportamentais
e neurológicas deste sistema numérico não podem ser atribuídas a uma
reação atencional de domínio geral à novidade ou à familiaridade.
Assim, um sólido corpo de evidências produzidas por criteriosas
investigações cientícas da psicologia e da neurociência vêm suportar o
intuicionismo matemático de Poincaré, para quem o verdadeiro raciocínio
matemático se originaria da intuição de número, a única intuição passível
de certeza (NOGUEIRA, 2006). Como vimos no início do capítulo, a
intuição do número é, para Poincaré, simplesmente uma faculdade básica
“de conceber que uma unidade pode agregar-se a um conjunto de unida-
des” (POINCARÉ, 1943, p. 37, apud NOGUEIRA, 2006, p. 143).
As evidências não suportam o logicismo piagetiano, no qual o
conceito de número é o resultado de um longo período de construções
lógicas sensório-motoras, surgindo somente após os seis ou sete anos de
idade; também não suportam o logicismo proposicional de Vygotsky, no
qual o conceito de número também surge com as generalizações complexas
dependente da linguagem. Ao contrário, as evidências ressaltam a conti-
nuidade entre logênese e ontogênese do senso numérico, apontando para
tendências funcionais na organização cerebral que podem canalizar para
áreas restritas do cérebro o aprendizado subsequente.
Esse senso numérico inato, entretanto, é baseado em dois meca-
nismos cognitivos numéricos supramodais, isto é, respondem a números
da modalidade do estímulo (visual, auditiva etc.). Um sistema é exato, mas
limitado à apreensão súbita de três ou quatro elementos, chamado subi-
tização. O outro é aproximado, para numerosidades maiores. Assim, am-
bos os sistemas são muito limitados e estão longe da aritmética exata para
grandes numerosidades e mais distantes ainda da matemática complexa
culturalmente construída. A existência de um senso numérico de natureza
perceptiva espaço-temporal é consistente em parte com a posição de Piaget
de que a linguagem não era tudo. Entretanto, em crianças mais velhas e
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
159
nos adultos, esse sistema numérico de natureza não verbal é suplementado
pela aquisição da linguagem, como os símbolos para quantidades, as roti-
nas de cálculo (algoritmos), etc., que possibilitam o desenvolvimento da
matemática culturalmente construída.
Com relação à linguagem, os recursos que esta possibilita têm
sido implicados na cognição matemática de diversas formas (SPELKE,
2003). Uma forma possível é que as palavras-números fornecem uma base
para se aprender a manipular as quantidades grandes que não podem ser
apreendidas com precisão pela percepção numérica e com precisão cada
vez maior. (BLOOM, 2000). Outra forma, esta bastante óbvia, é a lin-
guagem poder representar um código por meio do qual as computações
matemáticas são realizadas (SPELKE, 2003; CAREY, 2004). Esses papéis
da linguagem para a matemática exata e mais sosticada parecem car evi-
dentes em culturas nas quais a ausência de palavras número parece resultar
na limitação da cognição numérica à enumeração exata até três objetos e
enumeração aproximada em arranjos acima de três (GORDON, 2004;
PICA et al., 2004). Há também os que argumentam que existem fortes
paralelos entre a sintaxe da linguagem natural e a estrutura da Matemática
(HAUSER; CHOMSKY; FITCH, 2002). Uma discussão detalhada das
evidências e propostas mais recentes da cognição numérica foge ao escopo
desta revisão, merecendo um artigo especíco.
De qualquer modo, como evidenciam vários estudos (PRADO
et al., 2006; LEMER, 2003; veja ANDRADE, 2006a), é bastante pro-
vável que a habilidade de raciocinar sobre conjuntos numéricos grandes
(entender que ao retirar dois objetos de uma coleção de 20 restarão 18), é
impossível sem a posse de uma língua natural com palavras-número para
grandes quantidades. Há um consenso atual de que a competência lin-
guística nos possibilita ir além das outras espécies animais na aritmética e
em outros domínios, porque nos permite desenvolver um sistema simbó-
lico que sustenta o cálculo exato e a matemática sosticada. Esse consenso
originou a visão atual de que a aritmética surge a partir da integração de
dois sistemas, um verbal que dá origem às palavras-número e ao sistema
simbólico e um sistema de representação não verbal ou não simbólica, de
natureza espaço-temporal das numerosidades (SPELKE, 2003; CAREY,
2004; WYNN, 1992; FEIGENSON; DEHAENE; SPELKE, 2004). Em
160
outras palavras, sem a linguagem o que nos resta são os mecanismos de per-
cepção numérica exata, até três ou quatro elementos e a aproximada, que
estão presentes nos bebês humanos bem como em primatas, ratos e outros
animais (NIEDER, 2005). Nesse sentido, a proposta da voz interna ou
fala egocêntrica, de Vygotsky, pode possuir um considerável mérito, pois
os sistemas numéricos inatos de natureza não-verbal necessitam ser suple-
mentados pela linguagem para a criação de símbolos para quantidades, das
rotinas de cálculo (algoritmos), etc. Neste aspecto o logicismo ganha força.
Nesse sentido, o fato de o comportamento matemático cultural-
mente construído envolver a integração do senso numérico, baseado em me-
canismos sensório-perceptivos ou discriminativos, com o sistema linguístico,
isto é um tanto consistente com a noção de que o comportamento mate-
mático é um comportamento verbal controlado discriminativamente pelos
atributos numéricos do ambiente (DE ROSE, 2010), mas somente se con-
siderarmos o comportamento matemático verbal como uma consequência
do senso numérico e não o contrário. De qualquer modo, as evidências não
nos permitem desprezar o papel fundamental dos sistemas cognitivos inatos
que constituem o senso numérico nem a importância da sistematização da
contagem e dos algoritmos no aprendizado da aritmética exata.
As evidências apontam na direção de uma visão conciliatória que
assume o papel fundamental de um intuicionismo matemático e uma per-
cepção numérica básica (percepção exata de grandes quantidades e aproxi-
mada de grandes quantidades) na denição de número e pensamento ma-
temático, mas a qual necessita ser suplementada pelos recursos simbólicos
e lógico-proposicionais da linguagem no desenvolvimento da matemática
complexa culturalmente construída. Esta interação entre os sistemas nu-
méricos básicos e inatos e a linguagem parece constituir o tertium almejado
por Piaget para a denição de número e desenvolvimento do pensamento
matemático, uma terceira visão capaz de conciliar as duas das principais
correntes do pensamento matemático (logicismo versus intuicionismo).
Finalmente, o fato de o comportamento matemático ser crucial-
mente dependente do senso numérico e este, por sua vez, ser uma capaci-
dade inata servida por um substrato neural relativamente especíco loca-
lizado no sulco intraparietal, alterações congênitas sutis envolvendo essa
área podem acarretar um prejuízo do desenvolvimento normal das compe-
Diálogos sobre ensino-aprendizagem da matemática:
abordagens pedagógica e neuropsicológica
161
tências numéricas na presença de outros domínios praticamente intactos.
Este é o caso já mencionado da discalculia do desenvolvimento (TEMPLE,
1989; BUTTERWORTH, 1999). Entretanto, as abordagens pedagógicas
e psicopedagógicas que não admitem a existência de quaisquer circuitos
neurais e operações mentais inatas subjacentes aos domínios culturalmente
construídos e seu aprendizado, uma vez que nestas concepções os sistemas
neurocognitivos são todos construídos pela experiência, também não ad-
mitem nenhuma diculdade de aprendizagem de ordem congênita, exceto
nos casos de lesões orgânicas diagnosticáveis (ANDRADE, 2006a). Em
geral, acredita-se que as diculdades de aprendizagem são determinadas
por insuciências no processo de comunicação (sendo a linguagem o parâ-
metro do desenvolvimento que é mais inuenciado pelos “fatores sociais”
do aprendizado) ou uma motivação insuciente causada, frequentemente,
pela posição em que se encontra o estudante, ou de sujeito alienado ou de
sujeito criativo (ANDRADE, 2006a). Dessa forma, fatalmente negligen-
ciaremos uma signicativa parcela da população que necessita de atendi-
mento psicopedagógico especializado com conhecimento das diculdades
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170
171
SOBRE OS AUTORES
FABIANA SILVA RIBEIRO
Psicóloga. Doutoranda em Psicologia Básica pela Universidade do Minho,
Portugal. Bolsista do CNPq.
FLÁVIA HELOÍSA DOS SANTOS
Psicóloga. Doutora em Psicobiologia pela Universidade Federal de São
Paulo (Unifesp). Docente do Programa de Pós-Graduação em Psicologia do
Desenvolvimento e Aprendizagem da Unesp, Campus de Bauru. Investigadora
da Universidade do Minho, Portugal.
JOÃO DOS SANTOS CARMO
Psicólogo. Doutor em Educação pela Universidade Federal de São Carlos
(UFSCar). Professor Adjunto do Departamento de Psicologia e do Programa de
Pós-Graduação em Psicologia da UFSCar. Líder do grupo de pesquisa Análise do
Comportamento e Ensino-Aprendizagem da Matemática (ACEAM) e pesquisador
do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia sobre Comportamento, Cognição
e Ensino (INCT-ECCE).
JOSÉ CARLOS MIGUEL
Licenciado em Matemática. Doutor em Educação pela Unesp. Professor Assistente
Doutor do Departamento de Didática e do Programa de Pós-graduação, da
Unesp (Campus de Marília). Atualmente ocupa o cargo de Diretor da Faculdade
de Filosoa e Ciências da Unesp (Campus de Marília).
JULIANA MOLINA
Psicóloga. Doutoranda pelo Programa de Pós-Graduação em Ciências Aplicadas
à Pediatria da Universidade Federal de São Paulo (Unifesp).
MARIA DO CARMO DE SOUSA
Licenciada em Matemática. Doutora em Educação Matemática pela Universidade
de Campinas (Unicamp). Professora adjunto na UFSCar. Foi docente da Unesp
(Campus de Presidente Prudente).
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MARINA CURY TONOLI
Graduanda em Psicologia pela Unesp (Campus de Assis), Bolsista da Fundação
de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Fapesp).
PAULO ADILSON DA SILVA
Psicólogo. Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Psicologia da Unesp
(Campus de Assis).
PAULO ESTEVÃO ANDRADE
Músico e professor de musicalização infantil. Autodidata e pesquisador em
neurociência cognitiva. Pesquisador dos grupos “Neurociências e Comportamento:
Memória, Plasticidade, Envelhecimento e Qualidade de Vida”, “Linguagem,
Aprendizagem, Escolaridade” e do grupo ACEAM.
PAULO SÉRGIO TEIXEIRA DO PRADO
Pedagogo. Doutor em Psicologia Experimental pela Universidade de São Paulo
(USP). Professor do Departamento de Psicologia da Educação, da Universidade
Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp, Campus de Marília). Membro
da Sociedade Brasileira de Psicologia (SBP).
ROSANA SATIKO KIKUCHI
Psicóloga. Atua nas áreas de neuropsicologia e psicologia hospitalar.
SOBRE O LIVRO
Formato 16 x 23 cm
Tipologia Adobe Garamond Pro
Papel Polén soft 85g/m2 (miolo)
Cartão Supremo 250g/m2 (capa)
Acabamento Grampeado e colado
Tiragem 300
Catalogação Telma Jaqueline Dias Silveira - CRB- 8/7867
Revisão/
Normalização: Flávia Alves Calado
Karenina Machado
Pedro Augusto Marrafa
Capa Edevaldo D. Santos
Diagramação Edevaldo D. Santos
Assessoria técnica Maria Rosangela de Oliveira - CRB-8/4073
Produção gráca: Giancarlo Malheiro Silva
2016
Impressão e acabamento
Gráca Campus
Unesp -Marília - SP
